Considere o problema de minimização de custo: minimize \mathrm{C}(\mathrm{L}, \mathrm{K})=10 \mathrm{~L}+20 \mathrm{~K} sujeito a \mathrm{Q}=\mathrm{L}^{0,5} \mathrm{~K}^{0,5}=100. Resolva via Lagrange.

Passo 1

O problema pede para minimizar o custo \mathrm{C}(L,K)=10L+20K
sujeito à restrição de produção \mathrm{Q}(L,K)=L^{0,5}K^{0,5}=100.
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que diz que no ponto ótimo \nabla C=\lambda\,\nabla(\text{restrição})çã

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
\mathcal{L}(L,K,\lambda)=10L+20K-\lambda\bigl(L^{0,5}K^{0,5}-100\bigr).
Para encontrar o mínimo, igualamos a zero as derivadas parciais de \mathcal{L}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e a condição da restrição:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} =10-\lambda\cdot 0,5\,L^{-0,5}K^{0,5}=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} =20-\lambda\cdot 0,5\,L^{0,5}K^{-0,5}=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} =-(L^{0,5}K^{0,5}-100)=0.

Passo 4

Das duas primeiras equações temos
10=0,5\,\lambda\,L^{-0,5}K^{0,5} \quad\Rightarrow\quad \lambda=20\,L^{0,5}K^{-0,5},
20=0,5\,\lambda\,L^{0,5}K^{-0,5} \quad\Rightarrow\quad \lambda=40\,L^{-0,5}K^{0,5}.
Igualando as duas expressões de \lambda:
20\,L^{0,5}K^{-0,5}=40\,L^{-0,5}K^{0,5} \quad\Rightarrow\quad L/K=4\,K/L \quad\Rightarrow\quad L^2=4K^2 \quad\Rightarrow\quad L=2K.

Passo 5

Substituindo L=2K na restrição \sqrt{L\,K}=100:
\sqrt{2K\cdot K}=100 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{2}\,K=100 \quad\Rightarrow\quad K=\frac{100}{\sqrt{2}}=50\sqrt{2},
L=2K=100\sqrt{2}.

Passo 6

Calculamos o custo mínimo:
C_{\min}=10L+20K =10\cdot100\sqrt{2}+20\cdot50\sqrt{2} =1000\sqrt{2}+1000\sqrt{2} =2000\sqrt{2}.

Resposta

L^*=100\sqrt{2},\quad K^*=50\sqrt{2},\quad C_{\min}=2000\sqrt{2}.

Exercícios relacionados