1. Considere a função f(x, y, z)=x sen y z+y sen x z. Calcule \nabla f(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x\sin(yz)+y\sin(xz)
e pede para calcular o gradiente de f, ou seja \nabla f(x,y,z). As informações relevantes são exatamente a expressão de f e as variáveis x,y,z.

Passo 2

O que é o gradiente? O gradiente de uma função de três variáveis é o vetor das derivadas parciais em relação a cada variável:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Derivada parcial significa: ao derivar em relação a uma variável, tratamos as demais como constantes. Por exemplo, para g(x,y)=x y^2 temos \partial g/\partial x = y^2 (pois y é visto como constante) e \partial g/\partial y = 2xy.

Passo 3

Regras que usaremos:
  • Regra do produto: para u(x) v(x),
\frac{d}{dx}(u v)=u'\,v+u\,v'.
No caso de derivadas parciais, a mesma ideia vale mantendo as outras variáveis constantes.
  • Regra da cadeia: para \sin(g(x)),
\frac{d}{dx}\sin(g(x))=\cos(g(x))\cdot g'(x).
Novamente, em derivadas parciais aplicamos a cadeia derivando g em relação à variável escolhida.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Separe os dois termos de f:
f(x,y,z)=\underbrace{x\sin(yz)}_{T_1}+\underbrace{y\sin(xz)}_{T_2}.
Derivando T_1=x\sin(yz) em relação a x:
  • Podemos usar produto: u=x e v=\sin(yz).
  • u'=\frac{\partial}{\partial x}x=1.
  • v=\sin(yz) é independente de x (pois yz não contém x), então \frac{\partial}{\partial x}\sin(yz)=0.
    Logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\sin(yz)\big)=1\cdot\sin(yz)+x\cdot 0=\sin(yz).
Derivando T_2=y\sin(xz) em relação a x:
  • Aqui y é constante fator, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(y\sin(xz)\big)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\sin(xz).
  • Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\sin(xz)=\cos(xz)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xz)=\cos(xz)\cdot z.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\big(y\sin(xz)\big)=y\cdot z\cos(xz).
Somando os dois resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}=\sin(yz)+y z\cos(xz).

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Novamente separe os termos.
Derivando T_1=x\sin(yz) em relação a y:
  • x é constante fator, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(x\sin(yz)\big)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\sin(yz).
  • Pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\sin(yz)=\cos(yz)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(yz)=\cos(yz)\cdot z.
Logo
\frac{\partial}{\partial y}\big(x\sin(yz)\big)=x z\cos(yz).
Derivando T_2=y\sin(xz) em relação a y:
  • Produto com u=y e v=\sin(xz). Aqui \sin(xz) é independente de y, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(y\sin(xz)\big)=1\cdot\sin(xz)+y\cdot 0=\sin(xz).
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=x z\cos(yz)+\sin(xz).

Passo 6

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Derivando T_1=x\sin(yz) em relação a z:
  • x é constante fator,
\frac{\partial}{\partial z}\big(x\sin(yz)\big)=x\cdot\frac{\partial}{\partial z}\sin(yz).
  • Pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial z}\sin(yz)=\cos(yz)\cdot\frac{\partial}{\partial z}(yz)=\cos(yz)\cdot y.
Logo
\frac{\partial}{\partial z}\big(x\sin(yz)\big)=x y\cos(yz).
Derivando T_2=y\sin(xz) em relação a z:
  • y é constante fator,
\frac{\partial}{\partial z}\big(y\sin(xz)\big)=y\cdot\frac{\partial}{\partial z}\sin(xz).
  • Pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial z}\sin(xz)=\cos(xz)\cdot\frac{\partial}{\partial z}(xz)=\cos(xz)\cdot x.
Portanto
\frac{\partial}{\partial z}\big(y\sin(xz)\big)=y\cdot x\cos(xz)=x y\cos(xz).
Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}=x y\cos(yz)+x y\cos(xz)=x y\big(\cos(yz)+\cos(xz)\big).

Passo 7

Agora juntamos as três derivadas parciais para formar o gradiente:
\nabla f(x,y,z)=\left(\sin(yz)+y z\cos(xz),\;x z\cos(yz)+\sin(xz),\;x y\big(\cos(yz)+\cos(xz)\big)\right).
Isso é o vetor que aponta na direção de maior crescimento de f e cujas componentes são as taxas de variação de f nas direções dos eixos x, y e z.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left(\sin(yz)+y z\cos(xz),\;x z\cos(yz)+\sin(xz),\;x y\big(\cos(yz)+\cos(xz)\big)\right)

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