- Considere as funções
e
.
a) Calcule a função composta
.
b) Encontre
usando o item (a).
c) Encontre
usando a regra da cadeia.
a) Calcule a função composta
b) Encontre
c) Encontre
Passo 1
O enunciado dá as funções e pede três coisas. Aqui estão os dados e as perguntas, bem organizados:
- Dados:
- Perguntas:
a) Calcular a função composta.
b) Encontrarusando o item (a) (ou seja, derivando obtida na letra (a)).
c) Encontrarusando a regra da cadeia (para verificar que dá o mesmo resultado).
Passo 2
Vamos fazer a composição explicitamente: substituir
e
em
. Isso nos dá
como função de
:
Agora substituímos
e
dentro desta expressão.
Passo 3
Substituindo e escrevendo cada termo antes de simplificar:
Vamos desenvolver
. Lembra da fórmula
. Aqui
e
, logo
Passo 4
Continuando a simplificação, voltamos para
:
Agora multiplicamos cada parêntese:
Somando os termos:
Agrupando termos semelhantes (potências de
e termos constantes):
Portanto a função composta é
Passo 5
Agora derivamos
obtida no passo anterior com respeito a
. Vamos lembrar as regras básicas de derivação que usaremos:
- A derivada de
é . - A derivada de uma constante é
.
Aplicamos termo a termo em.
Passo 6
Derivando cada termo:
Somando:
Podemos fatorar
para deixar mais compacto:
Isso responde a letra (b).
Passo 7
Agora vamos usar a regra da cadeia para verificar o resultado (letra (c)). A regra da cadeia para uma função
com
e
diz:
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente; e
,
são as derivadas das funções
e
.
Passo 8
Calculemos cada peça:
Primeiro as parciais de
:
Agora as derivadas de
e
:
Substituindo na regra da cadeia (lembrando que
deve ser avaliada em
):
Substituímos
:
Portanto
Multiplicando os termos:
Somando:
o que é exatamente o mesmo resultado obtido no passo 6. Fatorando:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)