1. Considere as funções f(x, y)=4 y-3 x^{2}, x(t)=t^{3}-1 e y(t)=1-t^{3}.
    a) Calcule a função composta z=f(x(t), y(t)).
    b) Encontre \frac{d z}{d t} usando o item (a).
    c) Encontre \frac{d z}{d t} usando a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado dá as funções e pede três coisas. Aqui estão os dados e as perguntas, bem organizados:
  • Dados: f(x,y)=4y-3x^{2},
x(t)=t^{3}-1,
y(t)=1-t^{3}.
  • Perguntas:
    a) Calcular a função composta z=f(x(t),y(t)).
    b) Encontrar \dfrac{dz}{dt} usando o item (a) (ou seja, derivando z(t) obtida na letra (a)).
    c) Encontrar \dfrac{dz}{dt} usando a regra da cadeia (para verificar que dá o mesmo resultado).

Passo 2

Vamos fazer a composição explicitamente: substituir x(t) e y(t) em f(x,y). Isso nos dá z como função de t:
z(t)=f\big(x(t),y(t)\big)=4\big(y(t)\big)-3\big(x(t)\big)^{2}.
Agora substituímos x(t)=t^{3}-1 e y(t)=1-t^{3} dentro desta expressão.

Passo 3

Substituindo e escrevendo cada termo antes de simplificar:
z(t)=4\big(1-t^{3}\big)-3\big(t^{3}-1\big)^{2}.
Vamos desenvolver \big(t^{3}-1\big)^{2}. Lembra da fórmula (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. Aqui a=t^{3} e b=1, logo
\big(t^{3}-1\big)^{2}=t^{6}-2t^{3}+1.

Passo 4

Continuando a simplificação, voltamos para z(t):
z(t)=4(1-t^{3})-3\big(t^{6}-2t^{3}+1\big).
Agora multiplicamos cada parêntese:
4(1-t^{3})=4-4t^{3},
-3\big(t^{6}-2t^{3}+1\big)=-3t^{6}+6t^{3}-3.
Somando os termos:
z(t)=(4-4t^{3})+(-3t^{6}+6t^{3}-3).
Agrupando termos semelhantes (potências de t e termos constantes):
z(t)=-3t^{6}+(-4t^{3}+6t^{3})+(4-3)=-3t^{6}+2t^{3}+1.
Portanto a função composta é
z(t)=-3t^{6}+2t^{3}+1.

Passo 5

Agora derivamos z(t) obtida no passo anterior com respeito a t. Vamos lembrar as regras básicas de derivação que usaremos:
  • A derivada de t^{n} é nt^{n-1}.
  • A derivada de uma constante é 0.
    Aplicamos termo a termo em z(t)=-3t^{6}+2t^{3}+1.

Passo 6

Derivando cada termo:
\frac{d}{dt}\big(-3t^{6}\big)=-3\cdot 6 t^{5}=-18 t^{5},
\frac{d}{dt}\big(2t^{3}\big)=2\cdot 3 t^{2}=6 t^{2},
\frac{d}{dt}(1)=0.
Somando:
\frac{dz}{dt}=-18t^{5}+6t^{2}.
Podemos fatorar 6t^{2} para deixar mais compacto:
\frac{dz}{dt}=6t^{2}\big(1-3t^{3}\big).
Isso responde a letra (b).

Passo 7

Agora vamos usar a regra da cadeia para verificar o resultado (letra (c)). A regra da cadeia para uma função z=f(x,y) com x=x(t) e y=y(t) diz:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente; e \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt} são as derivadas das funções x(t) e y(t).

Passo 8

Calculemos cada peça:
Primeiro as parciais de f(x,y)=4y-3x^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x}=-6x \quad\text{(porque a derivada de \(-3x^{2}\) em relação a \(x\) é \(-6x\) e \(4y\) é tratado como constante)},çãéé
\frac{\partial f}{\partial y}=4 \quad\text{(pois \(f\) é linear em \(y\) com coeficiente \(4\))}.é
Agora as derivadas de x(t) e y(t):
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\big(t^{3}-1\big)=3t^{2},
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(1-t^{3}\big)=-3t^{2}.
Substituindo na regra da cadeia (lembrando que \frac{\partial f}{\partial x} deve ser avaliada em x(t),y(t)):
\frac{dz}{dt}=\big(-6x(t)\big)\cdot 3t^{2}+4\cdot\big(-3t^{2}\big).
Substituímos x(t)=t^{3}-1:
-6x(t)=-6(t^{3}-1)=-6t^{3}+6.
Portanto
\frac{dz}{dt}=(-6t^{3}+6)\cdot 3t^{2}+4\cdot(-3t^{2}).
Multiplicando os termos:
(-6t^{3}+6)\cdot 3t^{2}=-18t^{5}+18t^{2},
4\cdot(-3t^{2})=-12t^{2}.
Somando:
\frac{dz}{dt}=-18t^{5}+18t^{2}-12t^{2}=-18t^{5}+6t^{2},
o que é exatamente o mesmo resultado obtido no passo 6. Fatorando:
\frac{dz}{dt}=6t^{2}\big(1-3t^{3}\big).

Resposta

a) z(t)=-3t^{6}+2t^{3}+1
b) \dfrac{dz}{dt}=-18t^{5}+6t^{2}=6t^{2}\big(1-3t^{3}\big)
c) \dfrac{dz}{dt}=-18t^{5}+6t^{2}=6t^{2}\big(1-3t^{3}\big)

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