Seja f(x, y)=3 x^{2}+2 x y-2. Usando a definição de derivada parcial, encontre:
a) D_{1} f(x, y);
b) f_{y}(5,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=3x^{2}+2xy-2 e pede duas coisas:
a) encontrar D_{1}f(x,y) (a derivada parcial de f em relação à primeira variável, isto é, x);
b) encontrar f_{y}(5,1) (a derivada parcial de f em relação a y, avaliada no ponto (5,1)).
Informações relevantes: a expressão explícita de f(x,y) está dada acima. Não há outras condições. Não vamos resolver nada neste passo, apenas identificamos o que é pedido.

Passo 2

Vou usar a definição de derivada parcial em relação a x. A definição é:
D_{1}f(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
onde h é um pequeno incremento em x (mantendo y fixo). Aqui o objetivo é calcular essa expressão algébrica e depois tomar o limite h\to0.

Passo 3

Primeiro calculo f(x+h,y) substituindo x por x+h na fórmula de f:
f(x+h,y)=3(x+h)^{2}+2(x+h)y-2.
Vou expandir os termos para ficar claro:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
portanto
f(x+h,y)=3(x^{2}+2xh+h^{2})+2xy+2hy-2.
Agora distribuo os coeficientes:
f(x+h,y)=3x^{2}+6xh+3h^{2}+2xy+2hy-2.

Passo 4

Agora monto a diferença do numerador da definição:
f(x+h,y)-f(x,y)=(3x^{2}+6xh+3h^{2}+2xy+2hy-2)-(3x^{2}+2xy-2).
Cancelam-se 3x^{2}, 2xy e -2, sobrando
f(x+h,y)-f(x,y)=6xh+3h^{2}+2hy.
Divido pelo h:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=6x+3h+2y.

Passo 5

Agora tomo o limite quando h\to0:
D_{1}f(x,y)=\lim_{h\to0}(6x+3h+2y)=6x+2y,
porque o termo 3h tende a zero. Portanto a derivada parcial de f em relação a x é 6x+2y. Vou explicar de forma curta o porquê: ao fazer a diferença de f(x+h,y)-f(x,y) os termos independentes de h se cancelam e os restantes são proporcionais a h; ao dividir por h e tomar o limite, sobram apenas os coeficientes dos termos lineares em h.

Passo 6

Agora calculo a derivada parcial em relação a y usando a definição:
D_{2}f(x,y)=\lim_{k\to0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k},
onde k é um pequeno incremento em y (mantendo x fixo). Substituo y+k:
f(x,y+k)=3x^{2}+2x(y+k)-2=3x^{2}+2xy+2xk-2.
A diferença é
f(x,y+k)-f(x,y)=2xk,
dividindo por k vem
\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=2x,
e tomando k\to0 obtém-se
D_{2}f(x,y)=2x.

Passo 7

Finalmente avalio D_{2}f no ponto (5,1):
f_{y}(5,1)=D_{2}f(5,1)=2\cdot 5=10.
Interpretação rápida: a derivada parcial em y é 2x, então, para x=5, a variação instantânea de f quando aumentamos y é 10.

Resposta

a) D_{1}f(x,y)=6x+2y
b) f_{y}(5,1)=10

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