Seja
. Usando a definição de derivada parcial, encontre:
a)
;
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
a) encontrar (a derivada parcial de
em relação à primeira variável, isto é,
);
b) encontrar (a derivada parcial de
em relação a
, avaliada no ponto
).
Informações relevantes: a expressão explícita de está dada acima. Não há outras condições. Não vamos resolver nada neste passo, apenas identificamos o que é pedido.
a) encontrar
b) encontrar
Informações relevantes: a expressão explícita de
Passo 2
Vou usar a definição de derivada parcial em relação a
. A definição é:
onde
é um pequeno incremento em
(mantendo
fixo). Aqui o objetivo é calcular essa expressão algébrica e depois tomar o limite
.
Passo 3
Primeiro calculo
substituindo
por
na fórmula de
:
Vou expandir os termos para ficar claro:
portanto
Agora distribuo os coeficientes:
Passo 4
Agora monto a diferença do numerador da definição:
Cancelam-se
,
e
, sobrando
Divido pelo
:
Passo 5
Agora tomo o limite quando
:
porque o termo
tende a zero. Portanto a derivada parcial de
em relação a
é
. Vou explicar de forma curta o porquê: ao fazer a diferença de
os termos independentes de
se cancelam e os restantes são proporcionais a
; ao dividir por
e tomar o limite, sobram apenas os coeficientes dos termos lineares em
.
Passo 6
Agora calculo a derivada parcial em relação a
usando a definição:
onde
é um pequeno incremento em
(mantendo
fixo). Substituo
:
A diferença é
dividindo por
vem
e tomando
obtém-se
Passo 7
Finalmente avalio
no ponto
:
Interpretação rápida: a derivada parcial em
é
, então, para
, a variação instantânea de
quando aumentamos
é
.
Resposta
a)
b)
b)