Considere a função
f(x, y, z)=9 x^{2} y \cos \left(x y z^{8}\right).
Determine:
\frac{\partial f}{\partial z}(2,-9,-5)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial z} no ponto (2,-9,-5) da função
f(x,y,z)=9\,x^{2}y\cos\bigl(x\,y\,z^{8}\bigr).
O conteúdo envolve regra da cadeia aplicada a derivadas parciais e trigonometria.

Passo 2

Para obter \frac{\partial f}{\partial z} trata-se x e y como constantes. Seja
u = x\,y\,z^{8}.
Então
\frac{\partial}{\partial z}\cos(u) = -\sin(u)\,\frac{du}{dz}, \quad \frac{du}{dz}=x\,y\cdot 8\,z^{7}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial z} =9\,x^{2}y\;\bigl(-\sin(xyz^{8})\bigr)\;\bigl(8\,x\,y\,z^{7}\bigr) =-72\,x^{3}y^{2}z^{7}\,\sin\bigl(x\,y\,z^{8}\bigr).

Passo 3

Agora avaliamo em (2,-9,-5):
x^{3}=2^{3}=8,\quad y^{2}=(-9)^{2}=81,\quad z^{7}=(-5)^{7}=-78125,
x\,y\,z^{8} =2\cdot(-9)\cdot(-5)^{8} =2\cdot(-9)\cdot390625 =-7031250, \quad \sin(-7031250)=-\sin(7031250).
Substituindo em
\displaystyle -72\,x^{3}y^{2}z^{7}\,\sin(xyz^{8}), obtém-se
\frac{\partial f}{\partial z}(2,-9,-5) =-72\cdot8\cdot81\cdot(-78125)\cdot\bigl(-\sin(7031250)\bigr) =-3\,645{,}000{,}000\,\sin\bigl(7031250\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial z}(2,-9,-5) =-3\,645\times10^{6}\,\sin\bigl(7031250\bigr).

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