Calcular as propriedades residuais
\left(G^{R}, H^{R}\right.) e
\left.\left.S^{R}\right\right)) a partir da equação do tipo virial truncada no segundo termo nas condições a seguir:
Acetileno à 300 K e 40 bar . Dados: T_{C}=308,3 \mathrm{~K} ; P_{C}=61,39 \mathrm{bar} ; \omega=0,187
Utilize a correlação de Pitzer e Curl para o cálculo do segundo coeficiente do tipo virial:
\hat{B}=\frac{B P_{C}}{R T_{C}}=B^{(0)}+\omega B^{(1)}
ou
\begin{gathered} B=\frac{R T_{C}}{P_{C}}\left(B^{(0)}+\omega B^{(1)}\right) \\\ B^{(i)}=a+\frac{b}{T_{r}}+\frac{c}{T_{r}^{2}}+\frac{d}{T_{r}^{3}}+\frac{e}{T_{r}^{8}} \quad(i=0,1) \end{gathered}
i a b c d e 0 0,1445 -0,330 -0,1385 -0,0121 0 1 0,073 0,46 -0,5 -0,097 -0,0073

Passo 1

O enunciado pede as propriedades residuais de Gibbs, entalpia e entropia a partir da equação de estado virial truncada no segundo coeficiente. O modelo é \r
Z = \frac{P\,V}{R\,T} \approx 1 + \frac{B\,P}{R\,T},\r
onde B depende só de T. As definições de propriedades residuais são \r
G^R = R T \int_{0}^{P} \frac{Z-1}{P}\,dP,\quad H^R = -R T^2 \int_{0}^{P} \Bigl(\frac{\partial Z}{\partial T}\Bigr)_{P}\frac{dP}{P},\quad S^R = \frac{H^R - G^R}{T}.\r
Para o coeficiente virial usa-se a correlação de Pitzer e Curl: \r
\hat B = \frac{B\,P_c}{R\,T_c} = B^{(0)} + \omega\,B^{(1)},\quad B = \frac{R\,T_c}{P_c}\bigl(B^{(0)} + \omega\,B^{(1)}\bigr),\r
com
B^{(i)} = a_i + \frac{b_i}{T_r} + \frac{c_i}{T_r^2} + \frac{d_i}{T_r^3} + \frac{e_i}{T_r^8},\quad T_r = \frac{T}{T_c}.

Passo 2

Calcular o segundo coeficiente virial B em \mathrm{L/mol}:\r
T_r = \frac{300}{308{,}3} = 0{,}9732,\quad 1/T_r = 1{,}0277,\;1/T_r^2=1{,}0561,\;1/T_r^3=1{,}085,\;1/T_r^8=1{,}243.\r
Com os parâme­tros da tabela,\r
B^{(0)} = 0{,}1445 -0{,}330\cdot1{,}0277 -0{,}1385\cdot1{,}0561 -0{,}0121\cdot1{,}085 \approx -0{,}354,
B^{(1)} = 0{,}073 +0{,}460\cdot1{,}0277 -0{,}500\cdot1{,}0561 -0{,}097\cdot1{,}085 -0{,}0073\cdot1{,}243 \approx -0{,}0966.\r
Logo \r
\hat B = B^{(0)} + \omega\,B^{(1)} = -0{,}354 + 0{,}187\cdot(-0{,}0966) = -0{,}3721,
B = \frac{R\,T_c}{P_c}\,\hat B = \frac{0{,}083144\cdot308{,}3}{61{,}39}\,(-0{,}3721) \approx -0{,}1555\;\mathrm{L/mol}.

Passo 3

Obter a derivada \dfrac{dB}{dT}. Primeiro \r
\frac{dB}{dT} = \frac{R\,T_c}{P_c}\,\frac{d}{dT}\bigl(B^{(0)}+\omega B^{(1)}\bigr) = \frac{R\,T_c}{P_c}\bigl(dB^{(0)}/dT + \omega\,dB^{(1)}/dT\bigr).\r
Usando
\frac{dB^{(i)}}{dT} = -\frac{b_i}{T_c}\frac{1}{T_r^2} -2\frac{c_i}{T_c}\frac{1}{T_r^3} -3\frac{d_i}{T_c}\frac{1}{T_r^4} -8\frac{e_i}{T_c}\frac{1}{T_r^9},\r
calcula-se numericamente \r
dB^{(0)}/dT \approx 0{,}002236,\quad dB^{(1)}/dT \approx 0{,}003238,
\frac{dB}{dT} = 0{,}4179\,(0{,}002236 +0{,}187\cdot0{,}003238) \approx 0{,}001187\;\mathrm{L/(mol\;K)}.

Passo 4

Escrever as fórmulas das propriedades residuais para o EOS virial truncado:\r
G^R = P\,B,
H^R = P\,B \;-\; P\,T\,\frac{dB}{dT},
S^R = -\,P\,\frac{dB}{dT}.

Passo 5

Substituir P=40,bar, T=300,K, B=-0{,}1555,L/mol, \dfrac{dB}{dT}=0{,}001187,L/(mol K). Convertemos bar·L em J (1 bar·L = 100 J): \r
G^R = 40\cdot(-0{,}1555)\,\mathrm{bar\;L/mol} = -6{,}22\;\mathrm{bar\;L/mol} = -622\;\mathrm{J/mol},
H^R = 40\cdot(-0{,}1555) - 40\cdot300\cdot0{,}001187 = -6{,}22 -14{,}24 = -20{,}46\;\mathrm{bar\;L/mol} = -2046\;\mathrm{J/mol},
S^R = -\,40\cdot0{,}001187 = -0{,}0475\;\mathrm{bar\;L/(mol\;K)} = -4{,}75\;\mathrm{J/(mol\;K)}.

Resposta

G^R ≈ –622 J/mol
H^R ≈ –2046 J/mol
S^R ≈ –4,75 J/(mol K)

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