Encontre as derivadas por derivação implícita:
\operatorname{sen}(x-y)-\frac{\theta}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
\operatorname{sen}(x - y) \;-\;\frac{\theta}{1 + x^{2}} \;=\; 0
e pede a derivada de y em relação a x usando derivação implícita. Vamos tratar \theta como constante e escrever y = y(x).

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x.
Para o primeiro termo, use a cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(x - y)\bigr] =\cos(x - y)\,\frac{d}{dx}(x - y) =\cos(x - y)\,(1 - y').
Para o segundo termo,
\frac{d}{dx}\!\Bigl[\frac{\theta}{1 + x^{2}}\Bigr] =\theta\;\frac{d}{dx}\bigl[(1 + x^{2})^{-1}\bigr] =\theta\bigl(-1\bigr)(1 + x^{2})^{-2}\cdot 2x =-\frac{2x\,\theta}{(1 + x^{2})^{2}}.

Passo 3

Como a derivada do lado direito 0 é zero, somamos os resultados e igualamos a zero:
\cos(x - y)\,(1 - y') \;-\;\Bigl(-\frac{2x\,\theta}{(1 + x^{2})^{2}}\Bigr) =0 \quad\Longrightarrow\quad \cos(x - y)\,(1 - y')+\frac{2x\,\theta}{(1 + x^{2})^{2}}=0.

Passo 4

Isolamos y'. Primeiro expandindo:
\cos(x - y)-y'\,\cos(x - y) +\frac{2x\,\theta}{(1 + x^{2})^{2}}=0 \;\Longrightarrow\; -y'\,\cos(x - y) =-\cos(x - y) -\frac{2x\,\theta}{(1 + x^{2})^{2}}.
Multiplicando por -1 e dividindo por \cos(x - y):
y' =1 \;+\;\frac{2x\,\theta}{(1 + x^{2})^{2}\,\cos(x - y)}.

Resposta

y' \;=\; 1 \;+\;\frac{2x\,\theta}{(1 + x^{2})^{2}\,\cos(x - y)}.

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