Considere a função
f(x, y, z)=6 x^{5} y cos \left(x y z^{8}\right).
Determine:
\frac{\partial f}{\partial x}(-7,-7,-4)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=6\,x^{5}y\cos\bigl(xyz^{8}\bigr)
e pede a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} avaliada em (x,y,z)=(-7,-7,-4). Para resolver, vamos usar regra do produto (entre x^5 e \cos(xyz^8)) e regra da cadeia (para derivar o cosseno).

Passo 2

Primeiro escrevemos
f(x,y,z)=6\,y\;\bigl[x^{5}\cos(xyz^{8})\bigr]
e derivamos em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} =6\,y\;\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\cos(xyz^{8})\bigr).
Pela regra do produto e da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\cos(g(x))\bigr) =5x^{4}\cos(g(x)) \;-\;x^{5}\sin(g(x))\;g'(x),
onde g(x)=xyz^{8} e g'(x)=yz^{8}. Logo
\frac{\partial f}{\partial x} =6y\Bigl[5x^{4}\cos(xyz^{8})-x^{5}\sin(xyz^{8})\,(y\,z^{8})\Bigr]
e, reorganizando,
\frac{\partial f}{\partial x} =30\,x^{4}y\cos(xyz^{8}) \;-\;6\,x^{5}y^{2}z^{8}\sin(xyz^{8}).

Passo 3

Agora avaliaremos em (x,y,z)=(-7,-7,-4). Primeiro calcule o argumento do seno e cosseno:
xyz^{8} =(-7)\cdot(-7)\cdot\bigl((-4)^{8}\bigr) =49\cdot65536 =3211264.

Passo 4

Em seguida, os coeficientes numéricos:
30\,x^{4}y =30\cdot(-7)^{4}\cdot(-7) =30\cdot2401\cdot(-7) =-504210,
-6\,x^{5}y^{2}z^{8} =-6\cdot(-7)^{5}\cdot(-7)^{2}\cdot(-4)^{8} =+323830284288.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(-7,-7,-4) =-504210\cos\bigl(3211264\bigr) \;+\;323830284288\sin\bigl(3211264\bigr).

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