Calcule \int_{\sigma} \vec{G} \cdot \overrightarrow{d l}, onde \sigma e ́ a interseção de z=1 com \left(\frac{x^{2}}{3}\right)+y^{2}+\left(\frac{z^{2}}{4}\right)=1,(y \geqslant 0), vientada com x crescente, e \vec{G}(x, y, z)=\left(2 x y \cos x^{2}+z e^{x}\right) \hat{\imath}+\left(\operatorname{sen} x^{2}+\frac{2 y}{y^{2}+1}\right) \hat{\jmath}+e^{x} \hat{k}.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
\int_{\sigma}\vec G\cdot d\vec l
onde \sigma é a curva dada pela interseção de z=1 com
\frac{x^2}{3}+y^2+\frac{z^2}{4}=1,
restrita a y\ge0 e orientada com x crescente.
O campo é
\vec G(x,y,z)=\bigl(2xy\cos x^2+ze^x\bigr)\,\hat\imath +\Bigl(\sin x^2+\frac{2y}{y^2+1}\Bigr)\,\hat\jmath +e^x\,\hat k.
Como a curva está em z=1, podemos usar o Teorema de Green projetando em xy-plano.