Calcule \int_{\sigma} \vec{G} \cdot \overrightarrow{d l}, onde \sigma e ́ a interseção de z=1 com \left(\frac{x^{2}}{3}\right)+y^{2}+\left(\frac{z^{2}}{4}\right)=1,(y \geqslant 0), vientada com x crescente, e \vec{G}(x, y, z)=\left(2 x y \cos x^{2}+z e^{x}\right) \hat{\imath}+\left(\operatorname{sen} x^{2}+\frac{2 y}{y^{2}+1}\right) \hat{\jmath}+e^{x} \hat{k}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{\sigma}\vec G\cdot d\vec l
onde \sigma é a curva dada pela interseção de z=1 com
\frac{x^2}{3}+y^2+\frac{z^2}{4}=1,
restrita a y\ge0 e orientada com x crescente.
O campo é
\vec G(x,y,z)=\bigl(2xy\cos x^2+ze^x\bigr)\,\hat\imath +\Bigl(\sin x^2+\frac{2y}{y^2+1}\Bigr)\,\hat\jmath +e^x\,\hat k.
Como a curva está em z=1, podemos usar o Teorema de Green projetando em xy-plano.

Passo 2

Em z=1 temos
P(x,y)=2xy\cos x^2+e^x, \qquad Q(x,y)=\sin x^2+\frac{2y}{y^2+1},
e d\vec l=(dx,dy,0), logo
\vec G\cdot d\vec l=P\,dx+Q\,dy.
A projeção da região interna da curva é
D=\Bigl\{(x,y)\;\Big|\;\frac{x^2}{3}+y^2\le\frac34,\;y\ge0\Bigr\}.
O contorno \partial D é formado pela semielipse \sigma (de x=-\tfrac32 a x=+\tfrac32, y\ge0) e pelo segmento L em y=0 de x=+\tfrac32 até x=-\tfrac32.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy =\iint_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA.
Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x}=2x\cos x^2 e
\frac{\partial P}{\partial y}=2x\cos x^2,
logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0
e
\displaystyle\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=0.

Passo 4

Separando a contribuição de \partial D em semielipse \sigma e segmento L:
\int_{\sigma}P\,dx+Q\,dy +\int_{L}P\,dx+Q\,dy =0 \qquad\Longrightarrow\qquad \int_{\sigma}P\,dx+Q\,dy =-\int_{L}P\,dx+Q\,dy.

Passo 5

No segmento L temos y=0, dy=0 e x vai de +\tfrac32 a -\tfrac32.
Então
P(x,0)=e^x, \quad Q(x,0)=\sin x^2,
e
\int_{L}P\,dx+Q\,dy =\int_{x=3/2}^{-3/2}e^x\,dx =-\int_{-3/2}^{3/2}e^x\,dx =-(e^{3/2}-e^{-3/2}) =e^{-3/2}-e^{3/2}.

Passo 6

Substituindo em
\displaystyle\int_{\sigma}P\,dx+Q\,dy=-\int_{L}P\,dx+Q\,dy,
obtém-se
\int_{\sigma}\vec G\cdot d\vec l =\int_{\sigma}P\,dx+Q\,dy =-(e^{-3/2}-e^{3/2}) =e^{3/2}-e^{-3/2}.

Resposta

\boxed{\,e^{3/2}-e^{-3/2}\,}.

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