Dê exemplo de uma série convergente \sum a_{n} e de uma sequência limitada \left(x_{n}\right) tais que a série \sum a_{n} x_{n} seja divergente. Examine o que ocorre se uma das hipóteses seguintes for verificada: (a) \left(x_{n}\right) é convergente; (b) \sum a_{n} é absolutamente convergente.
Passo 1
O enunciado pede um contra-exemplo no qual \sum a_{n} converge e \,(x_{n}) é limitada, mas \sum a_{n}x_{n} diverge. Depois devemos ver o que acontece se:
(a) (x_{n}) converge;
(b) \sum a_{n} é absolutamente convergente.
A primeira soma é L\sum a_{n}, que converge por hipótese.
A segunda converge pelo método da soma por partes (ou teste de Dirichlet): como \sum a_{n} tem somas parciais limitadas e x_{n}-L\to0, a série \sum a_{n}(x_{n}-L) converge.
Portanto, se x_{n}\to L, então \sum a_{n}x_{n} converge.
Passo 4
Se \sum a_{n} é absolutamente convergente e (x_{n}) é limitada, existe M>0 tal que |x_{n}|\le M. Então