Dê exemplo de uma série convergente \sum a_{n} e de uma sequência limitada \left(x_{n}\right) tais que a série \sum a_{n} x_{n} seja divergente. Examine o que ocorre se uma das hipóteses seguintes for verificada: (a) \left(x_{n}\right) é convergente; (b) \sum a_{n} é absolutamente convergente.

Passo 1

O enunciado pede um contra-exemplo no qual
\sum a_{n} converge e \,(x_{n}) é limitada, mas
\sum a_{n}x_{n} diverge. Depois devemos ver o que acontece se:
(a) (x_{n}) converge;
(b) \sum a_{n} é absolutamente convergente.

Passo 2

Escolhemos
a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}, \qquad x_{n} = (-1)^{n}.
  1. A série \sum a_{n}=\sum(-1)^{n}/n converge (teste de Leibniz).
  2. A sequência (x_{n}) vale +1 ou -1, logo é limitada.
  3. Porém
a_{n}x_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}\cdot(-1)^{n} = \frac{1}{n},
e \sum_{n=1}^{\infty}1/n é a série harmônica, que diverge.

Passo 3

Suponha agora que (x_{n}) converge, digamos \lim_{n\to\infty}x_{n}=L.
Então
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}L\,a_{n} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\,(x_{n}-L).
  • A primeira soma é L\sum a_{n}, que converge por hipótese.
  • A segunda converge pelo método da soma por partes (ou teste de Dirichlet): como \sum a_{n} tem somas parciais limitadas e x_{n}-L\to0, a série \sum a_{n}(x_{n}-L) converge.
    Portanto, se x_{n}\to L, então \sum a_{n}x_{n} converge.

Passo 4

Se \sum a_{n} é absolutamente convergente e (x_{n}) é limitada, existe M>0 tal que |x_{n}|\le M. Então
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_{n}x_{n}\bigr| \le M\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|,
e a soma à direita é finita por hipótese. Logo \sum a_{n}x_{n} converge absolutamente.

Resposta

Exemplo:
a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}, \quad x_{n} = (-1)^{n},
então \sum a_{n} converge, (x_{n}) é limitada, mas \sum a_{n}x_{n}=\sum1/n diverge.
(a) Se x_{n}\to L, então \sum a_{n}x_{n} converge.
(b) Se \sum|a_{n}| converge, então \sum a_{n}x_{n} converge (absolutamente).

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