Questão 6. Derive as seguint es funções:
h(x)=\tan x, x \neq \pi / 2+k \pi.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função h definida por
h(x)=\tan x,\quad x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.
Ou seja, precisamos encontrar h'(x) para todos os x do domínio indicado (os pontos em que \cos x=0 foram excluídos).

Passo 2

Uma observação útil antes de começar: podemos escrever a tangente como quociente de seno por cosseno. Portanto,
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},
essa escrita é válida exatamente quando \cos x\neq 0, que é o caso do domínio dado. Escrever \tan x assim nos permite usar regras usuais de derivação de quociente.

Passo 3

Vamos usar a regra do quociente. Vou lembrar a fórmula e explicar direitinho o que significa: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui u' significa a derivada de u em relação a x, e v' a derivada de v em relação a x. A fórmula diz: derive o numerador e multiplique pelo denominador, subtraia o numerador vezes a derivada do denominador, e divida tudo pelo quadrado do denominador.

Passo 4

Identificamos na nossa função:
u(x)=\sin x,\qquad v(x)=\cos x.
Agora precisamos das derivadas de u e v. São regras básicas (vale decorar e saber manipular):
(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.
Ou seja, a derivada do seno é o cosseno; a derivada do cosseno é menos o seno. Essas são propriedades fundamentais das funções trigonométricas.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente com u=\sin x e v=\cos x, temos
h'(x)=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x}.
Substituindo as derivadas de \sin x e \cos x:
h'(x)=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}.

Passo 6

Simplificando o numerador com calma:
\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)=\cos^2 x + \sin^2 x.
Então
h'(x)=\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}.

Passo 7

Usamos agora a identidade trigonométrica fundamental (que vem da definição no círculo unitário):
\sin^2 x + \cos^2 x = 1.
Aplicando essa identidade ao numerador obtemos
h'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.
É costume escrever essa função também usando a secante:
\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Portanto a derivada fica \operatorname{sec}^2 x. Note que a expressão só faz sentido quando \cos x\neq 0, ou seja, exatamente no domínio dado pelo enunciado.

Passo 8

Dica prática para a prova: memorize que
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x,
pois isso economiza tempo. Um exemplo rápido para conferir: em x=0 temos \tan 0=0 e \operatorname{sec}^2 0=1, então h'(0)=1, o que confere se você calcular a partir do quociente.

Resposta

\displaystyle h'(x)=\operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}

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