Questão 6. Derive as seguint es funções:
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
definida por
Ou seja, precisamos encontrar
para todos os
do domínio indicado (os pontos em que
foram excluídos).
Passo 2
Uma observação útil antes de começar: podemos escrever a tangente como quociente de seno por cosseno. Portanto,
essa escrita é válida exatamente quando
, que é o caso do domínio dado. Escrever
assim nos permite usar regras usuais de derivação de quociente.
Passo 3
Vamos usar a regra do quociente. Vou lembrar a fórmula e explicar direitinho o que significa: se
e
são funções diferenciáveis e
, então
Aqui
significa a derivada de
em relação a
, e
a derivada de
em relação a
. A fórmula diz: derive o numerador e multiplique pelo denominador, subtraia o numerador vezes a derivada do denominador, e divida tudo pelo quadrado do denominador.
Passo 4
Identificamos na nossa função:
Agora precisamos das derivadas de
e
. São regras básicas (vale decorar e saber manipular):
Ou seja, a derivada do seno é o cosseno; a derivada do cosseno é menos o seno. Essas são propriedades fundamentais das funções trigonométricas.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente com
e
, temos
Substituindo as derivadas de
e
:
Passo 6
Simplificando o numerador com calma:
Então
Passo 7
Usamos agora a identidade trigonométrica fundamental (que vem da definição no círculo unitário):
Aplicando essa identidade ao numerador obtemos
É costume escrever essa função também usando a secante:
Portanto a derivada fica
. Note que a expressão só faz sentido quando
, ou seja, exatamente no domínio dado pelo enunciado.
Passo 8
Dica prática para a prova: memorize que
pois isso economiza tempo. Um exemplo rápido para conferir: em
temos
e
, então
, o que confere se você calcular a partir do quociente.