Considere a função
f(x, y, z)=x^{2} y+y^{2} z+x z^{2}:
(a) Determine a derivada direcional de f no ponto (1,1,-1) na direção de \vec{v}=(0, \sqrt{2}, \sqrt{2}).
(b) Dado o ponto do item anterior, encontre as direções nas quais f cresce mais rapidamente e decresce mais rapidamente a partir desse ponto. Depois encontre as derivadas de f nessas direções.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+xz^{2}
e pede (a) a derivada direcional de f em (1,1,-1) na direção de \vec v=(0,\sqrt{2},\sqrt{2}), e (b) as direções em que f cresce e decresce mais rapidamente a partir desse ponto, com as respectivas derivadas. Para isso vamos usar o gradiente de f, vetor unitário da direção e produto escalar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e, portanto, o gradiente
f_x=2xy+z^2,\quad f_y=x^2+2yz,\quad f_z=y^2+2xz.
Em (1,1,-1) isso dá
f_x(1,1,-1)=2\cdot1\cdot1+(-1)^2=3, \quad f_y(1,1,-1)=1^2+2\cdot1\cdot(-1)=-1, \quad f_z(1,1,-1)=1^2+2\cdot1\cdot(-1)=-1.
Logo
\nabla f(1,1,-1) = (3,\,-1,\,-1).

Passo 3

Para a derivada direcional na direção de \vec v formamos o vetor unitário
\|\vec v\|=\sqrt{0^2+(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2}=2, \quad \vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(0,\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr).
Então
D_{\vec u}f(1,1,-1) =\nabla f(1,1,-1)\cdot\vec u =3\cdot0+(-1)\tfrac{\sqrt2}{2}+(-1)\tfrac{\sqrt2}{2} =-\sqrt2.

Passo 4

O crescimento mais rápido ocorre na direção de \nabla f. O vetor unitário correspondente é
\vec u_{\max} =\frac{\nabla f(1,1,-1)}{\|\nabla f(1,1,-1)\|} =\frac{1}{\sqrt{11}}\,(3,-1,-1),
já que \|\nabla f(1,1,-1)\|=\sqrt{3^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{11}. A derivada direcional máxima vale
D_{\vec u_{\max}}f=\|\nabla f(1,1,-1)\|=\sqrt{11}.
O decrescimento mais rápido ocorre em -\nabla f, com vetor unitário
\vec u_{\min}=-\vec u_{\max} =\frac{1}{\sqrt{11}}\,(-3,1,1)
e derivada direcional
D_{\vec u_{\min}}f=-\|\nabla f(1,1,-1)\|=-\sqrt{11}.

Resposta

(a) -\sqrt{2}.
(b) Direção de crescimento mais rápido \displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}(3,-1,-1) com derivada \sqrt{11};
direção de decrescimento mais rápido \displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}(-3,1,1) com derivada -\sqrt{11}.

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