Considere a função
f(x, y, z)=x y+y z+x z:
(a) Determine a derivada direcional de f na direção de \vec{v}=(-1,2,-2).
(b) Dado um ponto \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), encontre a direção na qual f cresce mais rapidamente a partir desse ponto. Depois encontre a derivada de f nessa direção.
(c) Encontre o plano tangente à superfície x y+y z+x z=2 que é paralelo ao plano 3 z=2 x-y.

Passo 1

O enunciado trata de uma função de três variáveis
f(x,y,z)=xy+yz+xz
e pede:
  1. A derivada direcional em direção a \vec v=(-1,2,-2).
  2. A direção de crescimento máximo em um ponto genérico (x_0,y_0,z_0) e o valor da derivada nessa direção.
  3. O plano tangente à superfície de nível f(x,y,z)=2 paralelo ao plano 3z=2x-y.
    Os conteúdos necessários são derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e equação de plano tangente a uma superfície de nível.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f para obter o gradiente:
\frac{\partial f}{\partial x}=y+z,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x+z,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=x+y.
Portanto
\nabla f(x,y,z) = \bigl(y+z,\;x+z,\;x+y\bigr).

Passo 3

(a) A derivada direcional de f na direção de \vec v é
D_{\vec u}f = \nabla f\cdot\vec u,
onde \vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}. Temos \|\vec v\|=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2}=3, logo
\vec u = \frac{1}{3}(-1,2,-2).
Fazendo o produto escalar
D_{\vec u}f =\bigl(y+z,\;x+z,\;x+y\bigr)\cdot\frac{1}{3}(-1,2,-2) =\frac{-\,(y+z)+2(x+z)-2(x+y)}{3} =\frac{-3y+z}{3} =-y+\frac{z}{3}.

Passo 4

(b) A direção em que f cresce mais rápido em (x_0,y_0,z_0) é a direção do gradiente naquele ponto, isto é
\vec d = \nabla f(x_0,y_0,z_0)=(y_0+z_0,\;x_0+z_0,\;x_0+y_0).
A derivada de f nessa direção (normalizada) é o módulo do gradiente:
\|\nabla f(x_0,y_0,z_0)\| =\sqrt{(y_0+z_0)^2+(x_0+z_0)^2+(x_0+y_0)^2}.

Passo 5

(c) A superfície de nível é f(x,y,z)=2. O plano tangente em (x_0,y_0,z_0) tem normal \nabla f(x_0,y_0,z_0). Queremos esse plano paralelo a 3z=2x-y, cujo vetor normal é (2,-1,-3).
Para paralelismo basta
\nabla f(x_0,y_0,z_0)=\lambda\,(2,-1,-3)
e f(x_0,y_0,z_0)=2. Escrevendo
(y_0+z_0,\;x_0+z_0,\;x_0+y_0) =\lambda(2,-1,-3), \quad x_0y_0+y_0z_0+x_0z_0=2,
obtém-se sistema que leva a \lambda^2=-\tfrac13, sem solução real.
Logo não existe ponto real onde o gradiente de f seja paralelo a (2,-1,-3). Portanto não há plano tangente a xy+yz+xz=2 paralelo a 3z=2x-y.

Resposta

(a) \;D_{\vec v}f=-y+\tfrac{z}{3}.
(b) Direção de máximo crescimento \nabla f=(y_0+z_0,\;x_0+z_0,\;x_0+y_0) e derivada máxima \sqrt{(y_0+z_0)^2+(x_0+z_0)^2+(x_0+y_0)^2}.
(c) Não existe plano tangente à superfície xy+yz+xz=2 que seja paralelo a 3z=2x-y.

Exercícios relacionados