Considere a função
(a) Determine a derivada direcional de
na direção de
.
(b) Dado um ponto
, encontre a direção na qual
cresce mais rapidamente a partir desse ponto. Depois encontre a derivada de
nessa direção.
(c) Encontre o plano tangente à superfície
que é paralelo ao plano
.
(b) Dado um ponto
(c) Encontre o plano tangente à superfície
Passo 1
O enunciado trata de uma função de três variáveis
e pede:
- A derivada direcional em direção a
. - A direção de crescimento máximo em um ponto genérico
e o valor da derivada nessa direção. - O plano tangente à superfície de nível
paralelo ao plano .
Os conteúdos necessários são derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e equação de plano tangente a uma superfície de nível.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de
para obter o gradiente:
Portanto
Passo 3
(a) A derivada direcional de
na direção de
é
onde
. Temos
, logo
Fazendo o produto escalar
Passo 4
(b) A direção em que
cresce mais rápido em
é a direção do gradiente naquele ponto, isto é
A derivada de
nessa direção (normalizada) é o módulo do gradiente:
Passo 5
(c) A superfície de nível é
. O plano tangente em
tem normal
. Queremos esse plano paralelo a
, cujo vetor normal é
.
Para paralelismo basta
Para paralelismo basta
e
. Escrevendo
obtém-se sistema que leva a
, sem solução real.
Logo não existe ponto real onde o gradiente de seja paralelo a
. Portanto não há plano tangente a
paralelo a
.
Logo não existe ponto real onde o gradiente de
Resposta
(a)
(b) Direção de máximo crescimento e derivada máxima
(c) Não existe plano tangente à superfície que seja paralelo a
.
(b) Direção de máximo crescimento
(c) Não existe plano tangente à superfície