Seja f(x, y)=raiz[3]x^3+y^3.
(b) Determine, caso existam, partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=raiz[3]x^3+y^3 no ponto (0,0). O conteúdo é derivadas parciais e vamos usar a definição via limite de diferença e a propriedade fundamental da raiz cúbica real: raiz[3]h^3=h para todo hin R.

Passo 2

Para obter partial fpartial x(0,0), aplicamos a definição de derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Note que f(h,0)=raiz[3]h^3+0=raiz[3]h^3=h e f(0,0)=0. Então
f(h,0)-f(0,0)h=h-0h=1para hneq0,
e o limite vale 1. Portanto partial fpartial x(0,0)=1.

Passo 3

Para partial fpartial y(0,0), fazemos o mesmo procedimento trocando x por y:
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k
Aqui f(0,k)=raiz[3]0+k^3=k, então
f(0,k)-f(0,0)k=k-0k=1,
levando ao limite 1. Assim partial fpartial y(0,0)=1.

Resposta

partial fpartial x(0,0)=1 e partial fpartial y(0,0)=1.

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