Considere a superfície dada pelo gráfico da função
.
(a) Mostre que
nã é diferenciável em
.
(a) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=\sqrt{x2+y2} não é diferenciável em (0,0). O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de diferenciabilidade via aproximação linear.
Passo 2
Uma função f:ℝ^2→ℝ é diferenciável em (0,0) se existir uma aplicação linear L(x,y)=a x + b y tal que
Passo 3
Suponha, por absurdo, que f seja diferenciável em (0,0). Então existe L(x,y)=a x + b y de forma que para qualquer direção t e qualquer r>0 pequeno, colocando (h,k)=(r\cos t,r\sin t), temos
e a condição de resto o(⋅) dá
Passo 4
Dividindo por r e fazendo r→0, obtemos
isto é,
Passo 5
Mas não existem constantes a e b que façam essa identidade valer para todo t (pois a combinação a\cos t + b\sin t varia com t). Isso contradiz a suposição de diferenciabilidade.
Portanto, f não é diferenciável em (0,0).
Portanto, f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
A função f(x,y)=\sqrt{x2+y2} não é diferenciável em (0,0).