Considere a superfície dada pelo gráfico da função z=raizx^2+y^2.
(a) Mostre que z=f(x, y) nã é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=\sqrt{x2+y2} não é diferenciável em (0,0). O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de diferenciabilidade via aproximação linear.

Passo 2

Uma função f:ℝ^2→ℝ é diferenciável em (0,0) se existir uma aplicação linear L(x,y)=a x + b y tal que
f(h,k) - f(0,0) - L(h,k) = ol(raizh^2 + k^2r)quando (h,k)to(0,0)

Passo 3

Suponha, por absurdo, que f seja diferenciável em (0,0). Então existe L(x,y)=a x + b y de forma que para qualquer direção t e qualquer r>0 pequeno, colocando (h,k)=(r\cos t,r\sin t), temos
f(rcos t,rsin t)=raiz(rcos t)^2+(rsin t)^2=r,
e a condição de resto o(⋅) dá
r - l(a,rcos t + b,rsin tr) = o(r)

Passo 4

Dividindo por r e fazendo r→0, obtemos
1 - l(acos t + bsin tr)=0forall t,
isto é,
acos t + bsin t = 1forall t

Passo 5

Mas não existem constantes a e b que façam essa identidade valer para todo t (pois a combinação a\cos t + b\sin t varia com t). Isso contradiz a suposição de diferenciabilidade.
Portanto, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função f(x,y)=\sqrt{x2+y2} não é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados