Sejam as funções f e g, defina as seguintes funções e determine o domínio da função composta: f \circ g, g \circ f, f \circ f, g \circ g,
f(x)=\sqrt{x^{2}-1}, g(x)=\sqrt{x-1}

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais:
f(x)=\sqrt{x^{2}-1},\quad \operatorname{dom}f=\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-1\ge0\}=[-\infty,-1]\cup[1,\infty),
g(x)=\sqrt{x-1},\quad \operatorname{dom}g=\{x\in\mathbb{R}\mid x-1\ge0\}=[1,\infty).
Pede-se as composições f\circ g, g\circ f, f\circ f, g\circ g e seus domínios. Para cada composição h\circ k, o domínio é \{x\in\operatorname{dom}k\mid k(x)\in\operatorname{dom}h\}.

Passo 2

Calcular f\circ g. Por definição,
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=\sqrt{\bigl(g(x)\bigr)^{2}-1} =\sqrt{\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)^{2}-1} =\sqrt{x-1-1} =\sqrt{x-2}.
Domínio: requer x\in\operatorname{dom}g=[1,\infty) e x-2\ge0; ou seja x\ge2. Logo
\operatorname{dom}(f\circ g)=[2,\infty).

Passo 3

Calcular g\circ f. Por definição,
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=\sqrt{\,f(x)-1\,} =\sqrt{\sqrt{x^{2}-1}-1}\,.
Domínio: requer x\in\operatorname{dom}f=[-\infty,-1]\cup[1,\infty) e \sqrt{x^{2}-1}-1\ge0. A condição interna dá
\sqrt{x^{2}-1}\ge1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-1\ge1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\ge2 \quad\Longrightarrow\quad |x|\ge\sqrt2.
Como já exigíamos |x|\ge1, a restrição mais forte é |x|\ge\sqrt2. Assim
\operatorname{dom}(g\circ f)=(-\infty,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,\infty).

Passo 4

Calcular f\circ f. Por definição,
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr)=\sqrt{\bigl(f(x)\bigr)^{2}-1} =\sqrt{\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)^{2}-1} =\sqrt{x^{2}-1-1} =\sqrt{x^{2}-2}.
Domínio: requer x\in\operatorname{dom}f e x^{2}-2\ge0. A segunda condição é x^{2}\ge2, ou seja |x|\ge\sqrt2. Logo
\operatorname{dom}(f\circ f)=(-\infty,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,\infty).

Passo 5

Calcular g\circ g. Por definição,
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr)=\sqrt{\sqrt{x-1}-1}\,.
Domínio: requer x\in\operatorname{dom}g=[1,\infty) e \sqrt{x-1}-1\ge0. Isto é \sqrt{x-1}\ge1, ou seja x-1\ge1, logo x\ge2. Assim
\operatorname{dom}(g\circ g)=[2,\infty).

Resposta

f\circ g(x)=\sqrt{x-2},\quad \operatorname{dom}(f\circ g)=[2,\infty). g\circ f(x)=\sqrt{\sqrt{x^{2}-1}-1},\quad \operatorname{dom}(g\circ f)=(-\infty,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,\infty). f\circ f(x)=\sqrt{x^{2}-2},\quad \operatorname{dom}(f\circ f)=(-\infty,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,\infty). g\circ g(x)=\sqrt{\sqrt{x-1}-1},\quad \operatorname{dom}(g\circ g)=[2,\infty).

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