(5) Utilize a regra do quociente para encontrar f^prime(x) :
f(x)=x^3-xe^x+4

Passo 1

Estamos com a função f(x)=x^3 - xe^x + 4 e queremos a derivada usando a regra do quociente, que é conteúdo de derivadas de funções impostas por divisão.

Passo 2

Primeiro identificamos as partes: u(x)=x^3 - x e v(x)=e^x + 4. Agora derivamos cada uma: u'(x)=3x^2 -1 e v'(x)=e^x.

Passo 3

A regra do quociente diz que
f'(x)=u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Substituindo, fica:
f'(x)=(3x^2 -1)(e^x +4) - (x^3 - x),e^x(e^x +4)^2

Passo 4

Vamos dar uma simplificada no numerador: primeiro distribuímos:
(3x^2 -1)(e^x +4)= (3x^2 -1)e^x +4(3x^2 -1)
Então o numerador completo é
(3x^2 -1)e^x +12x^2 -4 - x^3 e^x + x e^x
Agrupando os termos com e^x:
e^xl(3x^2 -1 - x^3 + xr) + 12x^2 -4

Passo 5

Pronto! É só colocar tudo sobre (e^x+4)^2 e temos a forma final da derivada.

Resposta

f'(x)=(3x^2 -1)(e^x +4)-(x^3 -x)e^x(e^x+4)^2

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