Considere a função
f(z)=(z^2-2) e^-x e^-i y
e marque as afirmativas verdadeiras entre as opções a seguir.
Escolha uma ou mais:
a) f satisfaz as equações de Cauchy-Riemann para todos os valores de z.
e) f é diferenciável para todos os valores de z.
b) f é analítica para todos os valores de z, mas deixa de ser diferenciável em alguns valores de z.
d) f é diferenciável para todos os valores de z, mas deixa de ser analítica em alguns valores de z.
c) f é analítica para todos os valores de z.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z) = l(z^2 - 2r),e^-x,e^-i y
com z = x + i y, e pede para identificar quais afirmações sobre satisfazer as equações de Cauchy-Riemann, diferenciabilidade e analiticidade são verdadeiras. Vamos usar o fato de que funções polinomiais e exponenciais complexas são inteiras (analíticas em todo o plano) e que produto de funções analíticas é analítico.

Passo 2

Observe que
e^-xe^-i y = e^-,l(x + i yr) = e^-z
Logo podemos reescrever
f(z) = l(z^2 - 2r),e^-z

Passo 3

Sabemos que:
  1. A função z^2 - 2 é polinomial, logo inteira (analítica em todo C).
  2. A função e^-z é exponencial complexa, logo inteira.
  3. O produto de duas funções inteiras também é inteiro.
Portanto f(z) é inteira, isto é, é analítica em todo C.

Passo 4

Como f é analítica em todo o plano, ela é diferenciável em todo o plano e satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos.

Resposta

a) é verdadeira
c) é verdadeira
e) é verdadeira

Exercícios relacionados