Considere a função
e marque as afirmativas verdadeiras entre as opções a seguir.
Escolha uma ou mais:
a)
satisfaz as equações de Cauchy-Riemann para todos os valores de
.
e)
é diferenciável para todos os valores de
.
b)
é analítica para todos os valores de
, mas deixa de ser diferenciável em alguns valores de
.
d)
é diferenciável para todos os valores de
, mas deixa de ser analítica em alguns valores de
.
c)
é analítica para todos os valores de
.
Escolha uma ou mais:
a)
e)
b)
d)
c)
Passo 1
O enunciado dá a função
com
, e pede para identificar quais afirmações sobre satisfazer as equações de Cauchy-Riemann, diferenciabilidade e analiticidade são verdadeiras. Vamos usar o fato de que funções polinomiais e exponenciais complexas são inteiras (analíticas em todo o plano) e que produto de funções analíticas é analítico.
Passo 2
Observe que
Logo podemos reescrever
Passo 3
Sabemos que:
- A função
é polinomial, logo inteira (analítica em todo ). - A função
é exponencial complexa, logo inteira. - O produto de duas funções inteiras também é inteiro.
Portanto
é inteira, isto é, é analítica em todo
.
Passo 4
Como
é analítica em todo o plano, ela é diferenciável em todo o plano e satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos.
Resposta
a) é verdadeira
c) é verdadeira
e) é verdadeira
c) é verdadeira
e) é verdadeira