(Problema 18.2, Ref. [1]) Ajuste um polinômio interpolador para fazer uma estimativa do logaritmo em base 10 log (10) usando os dados log (8)= 0,9030900, log (9)=0,9542425 e log (11)=1,0413927. Aplique os seguintes polinômios interpoladores:
(b) Polinômio interpolador de Lagrange de segundo grau.

Passo 1

O enunciado pede para estimar log10(10) usando os três pontos
(x0,y0)=(8,,0,9030900), (x1,y1)=(9,,0,9542425), (x2,y2)=(11,,1,0413927)
e aplicar o polinômio interpolador de Lagrange de segundo grau. Vamos usar a construção geral de Lagrange e depois avaliar em x=10.

Passo 2

O polinômio de Lagrange de grau 2 é
onde cada base vale

Passo 3

Vamos calcular L0(10), L1(10) e L2(10):
L0(10) =(10 - x1)(10 - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) =(10 - 9),(10 - 11)(8 - 9),(8 - 11) =1cdot(-1)(-1)cdot(-3) =-tfrac13,
L1(10) =(10 - x0)(10 - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) =(10 - 8),(10 - 11)(9 - 8),(9 - 11) =2cdot(-1)1cdot(-2) =1,
L2(10) =(10 - x0)(10 - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) =(10 - 8),(10 - 9)(11 - 8),(11 - 9) =2cdot13cdot2 =tfrac13

Passo 4

Substituindo em p2(10):
p2(10) = y0,L0(10) + y1,L1(10) + y2,L2(10)

Passo 5

Usando y0=0,9030900, y1=0,9542425, y2=1,0413927:
p2(10) &=0,9030900cdotl(-tfrac13r) +0,9542425cdot1 +1,0413927cdotl(tfrac13r) &=-0,3010300+0,9542425+0,3471309 &=1,0003434(aprox)

Resposta

A estimativa pelo polinômio de Lagrange de segundo grau é
p2(10)approx1,0003434

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