Considere a função
a) fé contínua em
b) Calcule e com e calcule e

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracl(2^x-1r)sin yx,y,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede em (a) verificar a continuidade em (0,0) e em (b) calcular partial f/partial x e partial f/partial y para x,yneq0 e também em (0,0). Vamos usar expansão em série para estudar o limite em (0,0) e as regras de derivação usuais para pontos fora de x,y=0, depois aplicar a definição de derivada parcial em (0,0).

Passo 2

Para testar continuidade em (0,0) estudamos
lim(x,y)to(0,0)l(2^x-1r)sin yx,y
Como para xapprox0 temos 2^x-1=xln2+o(x) e para yapprox0 temos sin y=y+o(y), o quociente se comporta como
l(xln2+o(x)r),(y+o(y))x,y =ln2+o(x),y+x,o(y)+o(x)o(y)x,y ;longrightarrow;ln2
Portanto o limite é ln2, que não coincide com f(0,0)=0. Logo f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Para (x,y) com x,yneq0 note que
f(x,y) =underbrace2^x-1xg(x) ;cdot; underbracesin yyh(y)
Assim, usando partial(fg)=f',g e partial(gh)=g,h', temos
partial fpartial x(x,y) =g'(x),h(y), partial fpartial y(x,y) =g(x),h'(y)

Passo 4

Calculamos
g'(x) =ddxl(2^x-1xr) =x,2^xln2-(2^x-1)x^2,
h'(y) =ddyl(sin yyr) =ycos y-sin yy^2
Logo para x,yneq0
partial fpartial x(x,y) =x,2^xln2-(2^x-1)x^2;sin yy, partial fpartial y(x,y) =2^x-1x;ycos y-sin yy^2

Passo 5

Para as derivadas parciais em (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h, partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k
Observando que ao aproximar yto0 em f(h,y) temos sin y/yto1, segue que
f(h,0)=limyto0f(h,y)=2^h-1h, f(0,k)=limxto0f(x,k)=ln2;sin kk
Então
f(h,0)-0h =2^h-1h^2 longrightarrow+infty,
f(0,k)-0k =ln2;sin kk^2 longrightarrow+infty,
logo essas derivadas não existem (divergem).

Resposta

a) f não é contínua em (0,0).
b) Para x,yneq0:
partial fpartial x(x,y) =x,2^xln2-(2^x-1)x^2;sin yy, partial fpartial y(x,y) =2^x-1x;ycos y-sin yy^2
Em (0,0) as derivadas parciais não existem.

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