Encontre o plano tangente e o vetor normal à superfície z=f(x, y) no ponto dado:
f(x, y)=e^x y cos x y^2 em (0,1)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e o vetor normal à superfície ;z=f(x,y) no ponto (0,1), onde
f(x,y)=e^xycos(xy^2)
O conteúdo envolvido é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente
z = f(a,b) + fx(a,b),(x-a) + fy(a,b),(y-b)
Então precisamos de f(0,1), de fx(x,y) e de fy(x,y).

Passo 2

Calcular o valor de f em (0,1). Substituindo:
f(0,1)=e^0cdot1cosl(0cdot1^2r)=e^0cos0=1cdot1=1

Passo 3

Encontrar as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=e^xycos(xy^2),
usamos regra do produto e cadeia:
fx = partialpartial xl(e^xyr),cos(xy^2) + e^xy,partialpartial xl(cos(xy^2)r)
Como partialpartial xe^xy=y,e^xy e
partialpartial xcos(xy^2)=-sin(xy^2)cdot y^2, temos
fx = e^xyl(ycos(xy^2) - y^2sin(xy^2)r)
De modo análogo,
fy = partialpartial yl(e^xyr)cos(xy^2) + e^xypartialpartial yl(cos(xy^2)r) = e^xyl(xcos(xy^2) - 2xysin(xy^2)r)

Passo 4

Avaliar fx e fy no ponto (0,1).
fx(0,1) = e^0l(1cdotcos0 - 1^2sin0r) =1, fy(0,1) = e^0l(0cdotcos0 - 2cdot0cdot1sin0r) =0

Passo 5

Montar o plano tangente usando
z = f(0,1) + fx(0,1),(x-0) + fy(0,1),(y-1)
Fica
z - 1 = 1,(x-0) + 0,(y-1) Longrightarrow z = x + 1
O vetor normal é dado por nabla F para F(x,y,z)=z-f(x,y), isto é
n=(-fx(0,1),,-fy(0,1),,1)=(-1,,0,,1)

Resposta

Plano tangente: z = x + 1.
Vetor normal: l(-1,0,1r).

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