Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Este é uma EDO linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes. Vamos (1) montar a equação característica, (2) obter a solução geral e (3) aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica é
6r^3 + 5r^2 + r = 0
Fatorando r temos
r,(6r^2 +5r +1)=0
Resolvendo 6r^2+5r+1=0, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -5pmraiz25 -2412 = -5pm112,
logo as raízes são
r1 = 0, r2 = -tfrac13, r3 = -tfrac12

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^-x/3 + C3 e^-x/2 = C1 + C2 e^-x/3 + C3 e^-x/2
Calculamos também as derivadas necessárias:
y'(x) = -tfrac13C2 e^-x/3 - tfrac12C3 e^-x/2,
y''(x) = tfrac19C2 e^-x/3 + tfrac14C3 e^-x/2

Passo 4

Aplicando as condições iniciais em
Da terceira equação,
Substituindo em (y’(0)=2]:
Finalmente, de :

Passo 5

Com C1=8, C2=-18 e C3=8, a solução do IVP é
y(x) = 8 ;-; 18,e^-x/3 ;+; 8,e^-x/2

Resposta

boxedy(x) = 8 - 18,e^-x/3 + 8,e^-x/2

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