Q9: Considere a função
e assinale a reta para a qual tende o gráfico de
quando
:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede: qual é a reta para a qual o gráfico de
tende quando
. As alternativas fornecidas são (A), (B), (C), (D) e (E) (não sei). Vou listar o que temos de importante:
- A função é uma razão de polinômios com numerador de grau
e denominador de grau . - Precisamos encontrar a reta-assíntota (se houver) quando
.
Passo 2
Idéia que vamos usar (sem jargão complicado): quando o numerador tem grau maior que o denominador, o gráfico pode aproximar uma reta (ou um polinômio) para
muito grande. A forma prática e segura de achar essa reta é dividir o polinômio numerador pelo polinômio denominador (divisão de polinômios). O quociente polinomial (a parte inteira da divisão) será a reta (no caso aqui, um polinômio de grau
) e o resto dividido pelo denominador tende a
quando
. Vou fazer a divisão passo a passo para você conseguir reproduzir na prova.
Fazer a divisão de
por
- Primeiro termo do quociente:
. Multiplico o divisor por :
Subtraio esse produto do numerador:
- Próximo termo do quociente:
. Multiplico o divisor por :
Subtraio:
Agora o resto
tem grau
, menor que o grau do divisor (
), então a divisão termina. Assim:
Passo 3
Explicando por que a reta-assíntota é
: escrevemos
Para
a fração
tende a
, porque o numerador tem grau
e o denominador tem grau
; assim, para grandes
o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. Mais formalmente,
Portanto
ou seja, o gráfico de
aproxima-se da reta
quando
. (Na prática da prova: faça a divisão, ache o quociente
e mostre que o resto dividido pelo divisor tende a zero.)
Passo 4
Comparando com as alternativas dadas: a reta encontrada é
. Nenhuma das alternativas (A), (B), (C) ou (D) corresponde a
. Logo a reta-assíntota correta é
.