Q9: Considere a função f(x)=\frac{3 x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+3 x+1} e assinale a reta para a qual tende o gráfico de f(x) quando x \rightarrow \infty :
(A) 3 x-y=80
(B) 3 x+y=5
(C) x-3 y=1
(D) x+3 y=4
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{3x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+3x+1}
e pede: qual é a reta para a qual o gráfico de f(x) tende quando x\to\infty. As alternativas fornecidas são (A), (B), (C), (D) e (E) (não sei). Vou listar o que temos de importante:
  • A função é uma razão de polinômios com numerador de grau 3 e denominador de grau 2.
  • Precisamos encontrar a reta-assíntota (se houver) quando x\to\infty.

Passo 2

Idéia que vamos usar (sem jargão complicado): quando o numerador tem grau maior que o denominador, o gráfico pode aproximar uma reta (ou um polinômio) para x muito grande. A forma prática e segura de achar essa reta é dividir o polinômio numerador pelo polinômio denominador (divisão de polinômios). O quociente polinomial (a parte inteira da divisão) será a reta (no caso aqui, um polinômio de grau 1) e o resto dividido pelo denominador tende a 0 quando x\to\infty. Vou fazer a divisão passo a passo para você conseguir reproduzir na prova.
Fazer a divisão de
3x^{3}+x^{2}+x+1
por
x^{2}+3x+1.
  1. Primeiro termo do quociente: \dfrac{3x^{3}}{x^{2}}=3x. Multiplico o divisor por 3x:
3x\cdot(x^{2}+3x+1)=3x^{3}+9x^{2}+3x.
Subtraio esse produto do numerador:
(3x^{3}+x^{2}+x+1)-(3x^{3}+9x^{2}+3x)=-8x^{2}-2x+1.
  1. Próximo termo do quociente: \dfrac{-8x^{2}}{x^{2}}=-8. Multiplico o divisor por -8:
-8\cdot(x^{2}+3x+1)=-8x^{2}-24x-8.
Subtraio:
(-8x^{2}-2x+1)-(-8x^{2}-24x-8)=22x+9.
Agora o resto 22x+9 tem grau 1, menor que o grau do divisor ( 2), então a divisão termina. Assim:
\frac{3x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{2}+3x+1}=3x-8+\frac{22x+9}{x^{2}+3x+1}.

Passo 3

Explicando por que a reta-assíntota é y=3x-8: escrevemos
f(x)=3x-8+\frac{22x+9}{x^{2}+3x+1}.
Para x\to\infty a fração \dfrac{22x+9}{x^{2}+3x+1} tende a 0, porque o numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 2; assim, para grandes x o denominador cresce muito mais rápido que o numerador. Mais formalmente,
\lim_{x\to\infty}\frac{22x+9}{x^{2}+3x+1}=0.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-(3x-8)\bigr)=0,
ou seja, o gráfico de f(x) aproxima-se da reta
y=3x-8
quando x\to\infty. (Na prática da prova: faça a divisão, ache o quociente 3x-8 e mostre que o resto dividido pelo divisor tende a zero.)

Passo 4

Comparando com as alternativas dadas: a reta encontrada é y=3x-8. Nenhuma das alternativas (A), (B), (C) ou (D) corresponde a y=3x-8. Logo a reta-assíntota correta é y=3x-8.

Resposta

y=3x-8

Exercícios relacionados