Considere a função
f(x)=\frac{-2 x+8}{(x-6)^{4}}
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) “2ln(10)+3pi*(9-exp(2))-3*sqrt(5)” diretamente no Google por exemplo)
Parte 1) [ 1 / 3 dos pontos] Determine as constantes A, B, C e D tais que
f(x)=\frac{-2 x+8}{(x-6)^{4}}=\frac{A}{x-6}+\frac{B}{(x-6)^{2}}+\frac{C}{(x-6)^{3}}+\frac{D}{(x-6)^{4}}
e insira os valores a seguir
A=\square, B=\square, C=\square \mathrm{e} D=\square

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função
f(x)=\frac{-2x+8}{(x-6)^{4}}
no formato
\frac{-2x+8}{(x-6)^{4}} =\frac{A}{x-6}+\frac{B}{(x-6)^{2}}+\frac{C}{(x-6)^{3}}+\frac{D}{(x-6)^{4}}.
Estamos no conteúdo de frações parciais, e para resolver vamos multiplicar ambos os lados por (x-6)^4 e comparar coeficientes.

Passo 2

Multiplicando por (x-6)^{4} obtemos
-2x+8 = A\,(x-6)^{3}+B\,(x-6)^{2}+C\,(x-6)+D.
Agora expandimos cada termo:
(x-6)^{3}=x^{3}-18x^{2}+108x-216, \quad (x-6)^{2}=x^{2}-12x+36, \quad (x-6)=x-6.

Passo 3

Escrevendo o lado direito em potências de x:
A(x^{3}-18x^{2}+108x-216) +B(x^{2}-12x+36) +C(x-6) +D.
Agrupando coeficientes de x^{3},x^{2},x,1:
x^{3}:\;A,\quad x^{2}:\;-18A+B,\quad x^{1}:\;108A-12B+C,\quad \text{constante}:\;-216A+36B-6C+D.
No lado esquerdo temos -2x+8, ou seja 0 para x^3, 0 para x^2, -2 para x e 8 para a constante.

Passo 4

Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
\begin{cases} A=0,\\\\ -18A+B=0,\\\\ 108A-12B+C=-2,\\\\ -216A+36B-6C+D=8. \end{cases}
Substituindo A=0 e B=0 nas outras equações resulta em
C=-2,\quad D=-4.

Resposta

A =0.0, B =0.0, C=-2.0 e D=-4.0

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