Cacule as integrais abaixo
\iiint_{E} x d V onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z=1-y^{2} e pelos planos z=0, x=1 e x=-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} x\,dV
onde E é o sólido determinado por
-1 \le x \le 1,\quad 0 \le z \le 1 - y^2,\quad y^2 \le 1.
O conteúdo é integral tripla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar descrever bem os limites de integração e usar simetria.

Passo 2

Descrvendo o sólido E: dado o cilindro parabólico z=1-y^2 e o plano z=0, temos
y^2 \le 1 \implies -1 \le y \le 1,
e pelos planos verticais x=-1 e x=1
-1 \le x \le 1.
Logo podemos escrever
\iiint_{E} x\,dV = \int_{x=-1}^{1}\!\int_{y=-1}^{1}\!\int_{z=0}^{\,1-y^2} x\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro integramos em z, tratando x e y como constantes:
\int_{z=0}^{\,1-y^2} x\,dz = x\bigl[z\bigr]_{0}^{1-y^2} = x\,(1-y^2).
Assim a integral tripla vira
\int_{x=-1}^{1}\!\int_{y=-1}^{1} x\,(1-y^2)\,dy\,dx.

Passo 4

Observe que a função f(x,y)=x\,(1-y^2) é ímpar em x e o intervalo de x é simétrico [-1,1]. Portanto
\int_{x=-1}^{1} x\,(1-y^2)\,dx = (1-y^2)\int_{-1}^{1} x\,dx = (1-y^2)\cdot 0 =0.
Como o resultado da integral em x é zero para todo y, toda a integral dupla é zero.

Resposta

\iiint_{E} x\,dV = 0.

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