Considere a função
f(x)=\frac{-2 x+8}{(x-6)^{4}}
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) “2ln(10)+3pi*(9-exp(2))-3*sqrt(5)” diretamente no Google por exemplo)

Parte 2) [1/3 dos pontos]

Determine a integral definida I=\int_{7}^{8} f(x) d x, para a f(x) dada acima.
Insira o valor da integral aqui \boldsymbol{I}= \square

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
I = \int_{7}^{8} \frac{-2x + 8}{(x - 6)^{4}} \,dx
Vamos usar mudança de variável e decompor a função para encontrar uma antiderivada.

Passo 2

Faça t = x - 6, então dt = dx e x = t + 6. O numerador fica
-2x + 8 = -2(t + 6) + 8 = -2t - 12 + 8 = -2t - 4,
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\frac{-2x + 8}{(x - 6)^{4}} \,dx = \frac{-2t - 4}{t^{4}}\,dt = -2\,t^{-3}\,dt \;-\;4\,t^{-4}\,dt.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int -2\,t^{-3}\,dt = -2\cdot\frac{t^{-2}}{-2} = t^{-2},
\int -4\,t^{-4}\,dt = -4\cdot\frac{t^{-3}}{-3} = \frac{4}{3}\,t^{-3}.
Logo uma antiderivada é
F(t) = t^{-2} + \frac{4}{3}\,t^{-3} + C \;\Longrightarrow\; F(x) = \frac{1}{(x-6)^{2}} + \frac{4}{3\,(x-6)^{3}} + C.

Passo 4

Avalie de x=7 a x=8. Para x=8 t=2:
F(8) = \frac{1}{2^{2}} + \frac{4}{3\cdot2^{3}} = \frac{1}{4} + \frac{4}{24} = 0{,}25 + 0{,}1666667 = 0{,}4166667.
Para x=7 t=1:
F(7) = \frac{1}{1^{2}} + \frac{4}{3\cdot1^{3}} = 1 + \frac{4}{3} = 1 + 1{,}3333333 = 2{,}3333333.
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I = F(8) - F(7) = 0{,}4166667 - 2{,}3333333 = -1{,}9166666.

Resposta

\displaystyle -1.9166666

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