Calcule a integral dupla.
\begin{gathered} \int_{R} \int \operatorname{sen} x \operatorname{sen} y d A \\\ R: \text { retângulo com vértices }(-\pi, 0),(\pi, 0),(\pi, \pi / 2),(-\pi, \pi / 2) \end{gathered}âé

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função \sin x\sin y sobre o retângulo
R = \{(x,y)\mid -\pi \le x\le \pi,\;0\le y\le \tfrac{\pi}{2}\}.
O conteúdo aqui é o Teorema de Fubini, que permite separar a integral em duas integrais simples, já que a região é um produto de intervalos e a função é um produto.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iint_{R}\sin x\,\sin y\,dA =\int_{x=-\pi}^{\pi}\sin x\,dx \;\times\; \int_{y=0}^{\pi/2}\sin y\,dy.

Passo 3

Calculando a parte em x:
\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx
A função \sin x é ímpar e o intervalo [-\pi,\pi] é simétrico em relação a zero, logo
\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx = 0.

Passo 4

Mesmo sem precisar do segundo fator (pois já temos zero), podemos checar:
\int_{0}^{\pi/2}\sin y\,dy =\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\pi/2} =-\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+\cos(0) =0+1=1.
Multiplicando os dois resultados vem
0\times 1 = 0.

Resposta

0

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