Determine o domínio, intervalos de monotonia e extremos locais das funções:
.
Passo 1
O enunciado pede domínio, intervalos de monotonia e extremos locais da função
Este é um problema de Cálculo que envolve integrais dependentes de parâmetro e o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Analisando o domínio de
: a função integrando é
, que é contínua para
e
. Para que o caminho de integração de 2 até
não inclua o ponto singular
, precisamos de:
- Se
(isto é, ), então todos os entre 2 e satisfazem , e a integral é própria. - Se
(isto é, ), o intervalo de integração incluiria ou passaria por , causando divergência.
Logo, o domínio de
é
.
Passo 3
Cálculo de
pelo Teorema Fundamental do Cálculo e Regra da Cadeia. Para
temos
Passo 4
Determinando monotonicidade por meio do sinal de
: como
para todo
e no domínio
, o quociente
é sempre positivo. Logo,
é estritamente crescente em
.
Passo 5
Analisando extremos locais: em
,
nunca se anula nem muda de sinal, portanto não há pontos de máximo ou mínimo locais.
Resposta
Domínio:
.\nMonotonicidade: estritamente crescente em
.\nExtremos locais: não existem pontos de máximo ou mínimo locais.