Determine o domínio, intervalos de monotonia e extremos locais das funções: G(x)=integral2^e^x 1ln t d t.

Passo 1

O enunciado pede domínio, intervalos de monotonia e extremos locais da função
G(x)=integral2^e^x 1ln t,dt.
Este é um problema de Cálculo que envolve integrais dependentes de parâmetro e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Analisando o domínio de G: a função integrando é f(t)=1/ln t, que é contínua para t>0 e tneq1. Para que o caminho de integração de 2 até e^x não inclua o ponto singular t=1, precisamos de:
  • Se e^x>1 (isto é, x>0), então todos os t entre 2 e e^x satisfazem t>1, e a integral é própria.
  • Se e^x<=1 (isto é, x<=0), o intervalo de integração incluiria ou passaria por t=1, causando divergência.
Logo, o domínio de G é (0,infty).

Passo 3

Cálculo de G'(x) pelo Teorema Fundamental do Cálculo e Regra da Cadeia. Para
G(x)=integral2^e^x f(t),dt,
temos
G'(x)=f(e^x)cdot ddx(e^x)=1ln(e^x)cdot e^x=e^xx

Passo 4

Determinando monotonicidade por meio do sinal de G'(x)=e^xx: como e^x>0 para todo x e no domínio x>0, o quociente e^x/x é sempre positivo. Logo, G é estritamente crescente em (0,infty).

Passo 5

Analisando extremos locais: em (0,infty), G'(x) nunca se anula nem muda de sinal, portanto não há pontos de máximo ou mínimo locais.

Resposta

Domínio: (0,infty).\nMonotonicidade: estritamente crescente em (0,infty).\nExtremos locais: não existem pontos de máximo ou mínimo locais.

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