Use as propriedades dos integrais para verificar as desigualdades, sem calcular os integrais: 0 <= integral0^4 arctg x d x<2 pi

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a integral definida de arctgx de 0 a 4 satisfaz as desigualdades sem fazer o cálculo exato. O conteúdo aqui é propriedades de integrais definidas, em particular a comparação de funções integráveis.

Passo 2

Como arctgx é crescente e para todo x>=0 temos arctgx>=0, basta usar que se f(x)>=0 em um intervalo então integrala^b f(x),dx>=0. Logo,

Passo 3

Para a desigualdade superior, note que em todo [0,4] temos arctgx. Então por comparação de integrais vale

Passo 4

integral0^4arctgx,dx

Resposta

As desigualdades são verificadas: 0<=integral0^4arctgx,dx<2pi.

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