Considere a função G: R^3 times R^3 times R^3 R definida através do seguinte determinante
G(u, v, w)=|ccc <u, u> & <u, v> & <u, w> <v, u> & <v, v> & <v, w> <w, u> & <w, v> & <w, w> |,
onde <cdot, cdot> designa um produto interno em R^3.
(a) Calcule G(u, v, w), quando estes vectores formam uma base ortonormal de R^3 em relação ao produto interno considerado.
(b) Mostre que se os vectores u, v e w são linearmente dependentes, então G(u, v, w)=0.
(c) Mostre que G não se altera quando se substitui um dos vectores pela sua soma com um múltiplo de um dos outros vectores.
(d) Justifique que G nao é um determinante de ordem 3 .

Passo 1

O enunciado introduz a função
G(u,v,w)=det lang<= u,urang<= & lang<= u,vrang<= & lang<= u,wrang<= lang<= v,urang<= & lang<= v,vrang<= & lang<= v,wrang<= lang<= w,urang<= & lang<= w,vrang<= & lang<= w,wrang<= ,
que é o chamado determinante de Gram em Bbb R^3. Precisamos usar propriedades de matrizes de Gram e teoria de determinantes para:
(a) avaliar G em base ortonormal;
(b) mostrar que G=0 se u,v,w são LD;
(c) provar que trocar um vetor por ele mais múltiplo de outro não altera G;
(d) concluir por que G não é um determinante multilinear de ordem 3.

Passo 2

Quando u,v,w é base ortonormal para lang<=cdot,cdotrang<=, vale
lang<= u,urang<==lang<= v,vrang<==lang<= w,wrang<==1, lang<= u,vrang<==lang<= u,wrang<==lang<= v,wrang<==0
Logo a matriz de Gram é a matriz identidade I3 e
G(u,v,w)=det(I3)=1

Passo 3

Se u,v,w são linearmente dependentes, então há alpha,beta,gamma, nem todos zero, tais que
alpha u+beta v+gamma w=0
Isto implica que as colunas (e linhas) da matriz de Gram são LD, logo a matriz é singular e
G(u,v,w)=0

Passo 4

Suponha que trocamos w por w' = w + lambda,u. Então a 3.ª coluna da matriz de Gram passa a ter entradas
lang<= u,w'rang<= = lang<= u,wrang<= + lambdalang<= u,urang<=, etc., e semelhante na 3.ª linha. Isso equivale a somar lambda vezes a 1.ª coluna (e linha) à 3.ª, operação elementar que não altera o determinante. Concluímos
G(u,v,w')=G(u,v,w)

Passo 5

Um determinante de ordem 3 é, por definição, multilinear de grau 1 em cada vetor. Se fosse o caso, deveríamos ter
Mas na fórmula de Gram a substituição faz
e
, de modo que a nova matriz de Gram vale
e
não . Logo não satisfaz a linearidade em cada argumento e não é um determinante “multilinear de ordem 3”.

Resposta

(a) G(u,v,w)=1.
(b) G(u,v,w)=0 quando u,v,w são linearmente dependentes.
(c) G é invariante ao substituir um vetor por ele mais múltiplo de outro.
(d) G não é determinante de ordem 3 porque não é multilinear (por ex., G(alpha u,v,w)=alpha^2G(u,v,w), não alpha G(u,v,w)).

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