Considere a função definida através do seguinte determinante
onde <cdot, cdot> designa um produto interno em R^3.
(a) Calcule G(u, v, w), quando estes vectores formam uma base ortonormal de R^3 em relação ao produto interno considerado.
(b) Mostre que se os vectores u, v e w são linearmente dependentes, então G(u, v, w)=0.
(c) Mostre que G não se altera quando se substitui um dos vectores pela sua soma com um múltiplo de um dos outros vectores.
(d) Justifique que G nao é um determinante de ordem 3 .
que é o chamado determinante de Gram em Bbb R^3. Precisamos usar propriedades de matrizes de Gram e teoria de determinantes para:
(a) avaliar G em base ortonormal;
(b) mostrar que G=0 se u,v,w são LD;
(c) provar que trocar um vetor por ele mais múltiplo de outro não altera G;
(d) concluir por que G não é um determinante multilinear de ordem 3.
Passo 2
Quando u,v,w é base ortonormal para lang<=cdot,cdotrang<=, vale
Se u,v,w são linearmente dependentes, então há alpha,beta,gamma, nem todos zero, tais que
alpha u+beta v+gamma w=0
Isto implica que as colunas (e linhas) da matriz de Gram são LD, logo a matriz é singular e
G(u,v,w)=0
Passo 4
Suponha que trocamos w por w' = w + lambda,u. Então a 3.ª coluna da matriz de Gram passa a ter entradas lang<= u,w'rang<= = lang<= u,wrang<= + lambdalang<= u,urang<=, etc., e semelhante na 3.ª linha. Isso equivale a somar lambda vezes a 1.ª coluna (e linha) à 3.ª, operação elementar que não altera o determinante. Concluímos
G(u,v,w')=G(u,v,w)
Passo 5
Um determinante de ordem 3 é, por definição, multilinear de grau 1 em cada vetor. Se fosse o caso, deveríamos ter
Mas na fórmula de Gram a substituição faz e , de modo que a nova matriz de Gram vale
e
não . Logo não satisfaz a linearidade em cada argumento e não é um determinante “multilinear de ordem 3”.
Resposta
(a) G(u,v,w)=1.
(b) G(u,v,w)=0 quando u,v,w são linearmente dependentes.
(c) G é invariante ao substituir um vetor por ele mais múltiplo de outro.
(d) G não é determinante de ordem 3 porque não é multilinear (por ex., G(alpha u,v,w)=alpha^2G(u,v,w), não alpha G(u,v,w)).