Mostre que é um subespaço fechado de e determine .
Passo 1
O enunciado define
ou seja, são as sequências em cujas coordenadas de índice par se anulam. Precisamos mostrar que é subespaço linear fechado de e determinar o complemento ortogonal . Vamos usar:
– definição de subespaço linear;
– continuidade dos funcionais coordenada;
– definição de complemento ortogonal em espaço de Hilbert.
Passo 2
Para ver que é subespaço linear de , note que
O vetor nulo pertence a pois todas as suas coordenadas são zero.
Se e pertencem a , então , logo .
Para e temos , logo .
Assim, é subespaço linear.
Passo 3
Para mostrar que é fechado em , considere para cada a projeção coordenada
Cada é contínua (é lipchitziana de constante 1). Então
e como núcleo de aplicação contínua é fechado e interseção arbitrária de fechados é fechado, concluímos que é fechado.
Passo 4
O complemento ortogonal é
onde
Se xin Y então x2i=0, e a soma fica
lang<= x,yrang<= =sumk=1^infty xk,yk =sumsubstackk ímparxk,yk í
Como os termos xk para k ímpar são arbitrários em Y, essa soma só pode ser zero para todo x se yk=0 sempre que k for ímpar, ou seja, yk=0 para todo índice ímpar. Logo
Y^perp =,y=(yk)inell2mid y2i-1=0 para todo iinN
Resposta
O conjunto Y é um subespaço linear e fechado de ell2 e