Mostre que Y=x in l2 mid x=(xi), x2 i=0, i in N é um subespaço fechado de l2 e determine Y^perp.

Passo 1

O enunciado define
Y=x=(xi)in ell2 mid x2i=0 para todo iinN,
ou seja, são as sequências em ell2 cujas coordenadas de índice par se anulam. Precisamos mostrar que Y é subespaço linear fechado de ell2 e determinar o complemento ortogonal Y^perp. Vamos usar:
– definição de subespaço linear;
– continuidade dos funcionais coordenada;
– definição de complemento ortogonal em espaço de Hilbert.

Passo 2

Para ver que Y é subespaço linear de ell2, note que
  1. O vetor nulo 0=(0,0,0,dots) pertence a Y pois todas as suas coordenadas são zero.
  2. Se x e z pertencem a Y, então (x+z)2i=x2i+z2i=0+0=0, logo x+zin Y.
  3. Para lambdainK e xin Y temos (lambda x)2i=lambda,x2i=lambdacdot0=0, logo lambda xin Y.
Assim, Y é subespaço linear.

Passo 3

Para mostrar que Y é fechado em ell2, considere para cada iinN a projeção coordenada
pi2i:ell2toK, pi2i(x)=x2i
Cada pi2i é contínua (é lipchitziana de constante 1). Então
Y ;=;capi=1^infty kerpi2i,
e como núcleo de aplicação contínua é fechado e interseção arbitrária de fechados é fechado, concluímos que Y é fechado.

Passo 4

O complemento ortogonal é
Y^perp=yinell2mid lang<= x,yrang<==0 forall xin Y,
onde
lang<= x,yrang<==sumk=1^infty xk,yk
Se xin Y então x2i=0, e a soma fica
lang<= x,yrang<= =sumk=1^infty xk,yk =sumsubstackk ímparxk,yk í
Como os termos xk para k ímpar são arbitrários em Y, essa soma só pode ser zero para todo x se yk=0 sempre que k for ímpar, ou seja, yk=0 para todo índice ímpar. Logo
Y^perp =,y=(yk)inell2mid y2i-1=0 para todo iinN

Resposta

O conjunto Y é um subespaço linear e fechado de ell2 e
Y^perp=y=(yk)inell2mid y2i-1=0 para todo iinN

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