Seja A uma matriz n times n com polinómio característico f(x)=(c1-x)^d1 ldots(ck-x)^dk=det(A-x I). Mostre que tr(A)=c1 d1+cdots+ck dk.

Passo 1

O enunciado diz que é uma matriz cujo polinómio característico é
com . Queremos mostrar que
O conteúdo principal é usar a expansão de em potências de e comparar com a forma fatorada.

Passo 2

Sabemos que
Como , segue
Logo, na expansão em potências de , o coeficiente de em é

Passo 3

Por outro lado, usando a forma fatorada
f(x)=prodi=1^k(ci - x)^di =prodi=1^kl[(-1)^di(x - ci)^dir] =(-1)^nprodi=1^k(x - ci)^di
Ao expandir prodi=1^k(x - ci)^di como polinómio em x, o termo de grau n é x^n e o de grau n-1 é
-l(sumi=1^k di,cir),x^n-1
Portanto
f(x)=(-1)^nl(x^n - l(sumi=1^k di,cir)x^n-1+cdotsr) =(-1)^n x^n +(-1)^n-1l(sumi=1^k di,cir)x^n-1+cdots
Assim, o coeficiente de x^n-1 em f(x) é
(-1)^n-1sumi=1^k di,ci

Passo 4

Comparando o coeficiente de x^n-1 obtido em

Passo 5

Resposta

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