Seja
uma matriz
com polinómio característico
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
cujo polinómio característico é
com
. Queremos mostrar que
O conteúdo principal é usar a expansão de
em potências de
e comparar com a forma fatorada.
Passo 2
Sabemos que
Como
, segue
Logo, na expansão em potências de
, o coeficiente de
em
é
Passo 3
Por outro lado, usando a forma fatorada
Ao expandir
como polinómio em
, o termo de grau
é
e o de grau
é
Portanto
Assim, o coeficiente de
em
é
Passo 4
Comparando o coeficiente de
obtido em