Seja Y=[e1, ldots, en] subset l2, determine Y^perp.

Passo 1

O enunciado está em l2, o espaço das sequências l(x1,x2,dotsr) tais que sumk=1^inftyxk^2<infty. Definimos
Y = spane1,dots,en,
onde ek é a sequência que tem 1 na posição k e zeros nas demais. Precisamos encontrar
Y^perp = ,xin l2 mid lang<= x,yrang<= = 0 forall,yin Y

Passo 2

Lembre que o produto interno em l2 é
lang<= x,yrang<= = sumk=1^infty xk ,yk
Em particular, para x=(x1,x2,dots) e um vetor da base ei, temos
lang<= x,eirang<= = xi

Passo 3

Para x estar em Y^perp, deve satisfazer
lang<= x,eirang<= = 0 para todo i=1,dots,n
Isto implica
x1=0, x2=0,;dots,;xn=0

Passo 4

Logo, os vetores em Y^perp são exatamente aquelas sequências de l2 cujas primeiras n coordenadas valem zero, ou seja,
Y^perp = , (0,dots,0,xn+1,xn+2,dots)in l2
Em termos de base, isso equivale a
Y^perp = spanen+1,en+2,dots

Resposta

Y^perp = ,xin l2mid x1=cdots=xn=0 =spanen+1,en+2,dots

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