Considere a função g(x)=x^{3}+x^{2}.
(a) Determine o domínio de g.
(b) Verifique se g é par ou ímpar.
(c) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de g, bem como os seus extremos relativos, caso existam. Justifique a classificação dos mesmos utilizando o Teste da Primeira Derivada ou Teste da Segunda Derivada.
(d) Estude a concavidade de g e seus pontos de inflexão, caso existam.
(e) Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x) \text { e } \lim _{x \rightarrow-\infty} g(x)
e as assíntotas de g, caso existam.
(f) Determine as raízes e o ponto de interseção de g com o eixo y.
(g) Utilize as informações dos itens anteriores para esboçar o gráfico da função g.

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
g(x)=x^{3}+x^{2}
incluindo domínio, paridade, monotonicidade e extremos (via derivada), concavidade e pontos de inflexão, comportamento nas infinitudes e assíntotas, raízes e interseção com o eixo y, e finalmente o esboço do gráfico. Vamos usar ferramentas de cálculo diferencial (primeira e segunda derivada) e limites para resolver cada item.

Passo 2

Para determinar o domínio basta notar que g(x) é um polinômio, logo seu domínio é todo o conjunto dos reais:
\mathrm{Dom}(g)=(-\infty,\infty).
Para verificar paridade comparamos g(-x) e \pm g(x):
g(-x)=(-x)^{3}+(-x)^{2}=-x^{3}+x^{2}, \quad -g(x)=-(x^{3}+x^{2})=-x^{3}-x^{2}.
Como g(-x) não coincide nem com g(x) nem com -g(x), concluímos que g é nem par nem ímpar.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada e analisamos sinais para monotonicidade e extremos:
g'(x)=3x^{2}+2x = x\,(3x+2).
As raízes de g' são x=0 e x=-\tfrac{2}{3}. Num quadro de sinais:
  • Para x<-\tfrac{2}{3}: x<0 e 3x+2<0 \Rightarrow g'>0 (crescente).
  • Para -\tfrac{2}{3}<x<0: x<0 e 3x+2>0 \Rightarrow g'<0 (decrescente).
  • Para x>0: x>0 e 3x+2>0 \Rightarrow g'>0 (crescente).
Logo há um ponto de máximo relativo em x=-\tfrac{2}{3} e de mínimo relativo em x=0. Seus valores são
g\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) =\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^{3}+\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2} =-\tfrac{8}{27}+\tfrac{4}{9} =\tfrac{4}{27},
g(0)=0.
Podemos confirmar a natureza usando a segunda derivada no item seguinte.

Passo 4

A segunda derivada é
g''(x)=6x+2.
Resolvendo g''(x)=0 obtemos x=-\tfrac{1}{3}. Para x<-\tfrac{1}{3}, g''(x)<0 (concavidade para baixo); para x>-\tfrac{1}{3}, g''(x)>0 (concavidade para cima). Logo há ponto de inflexão em x=-\tfrac{1}{3} e
g\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) =-\tfrac{1}{27}+\tfrac{1}{9} =\tfrac{2}{27}.
Verificação dos extremos pelo teste da segunda derivada:
g''\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)=6\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)+2=-4+2=-2<0\quad\text{(máx.)},á
g''(0)=2>0\quad\text{(mín.)}.í

Passo 5

Estudamos os limites nas infinitudes:
\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty, \quad \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty.
Sendo g polinomial de grau 3, não existem assíntotas verticais nem horizontais. Não há assíntota oblíqua (neste contexto de polinômio não se considera assíntota).

Passo 6

As raízes de g satisfazem
x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1)=0
logo x=0 (de multiplicidade 2) e x=-1. A interseção com o eixo y é g(0)=0, ou seja, o ponto (0,0) também.

Passo 7

Com todas as informações:
  • Cresce em (-\infty,-\tfrac{2}{3}) atinge máximo relativo \bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{27}\bigr), decresce em \bigl(-\tfrac{2}{3},0\bigr) até o mínimo relativo (0,0), e cresce em (0,\infty).
  • Concavidade para baixo em (-\infty,-\tfrac{1}{3}), para cima em (-\tfrac{1}{3},\infty) com ponto de inflexão \bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{27}\bigr).
  • Interceptos: raízes em -1 e 0, interseção com y em (0,0).
  • Comportamento nas infinitudes: g(x)\to\pm\infty.
Esboça-se um cúbico passando pelos pontos citados, com mudança de concavidade em -\tfrac{1}{3}, máximo em -\tfrac{2}{3} e mínimo em 0.

Resposta

(a) \mathrm{Dom}(g)=(-\infty,\infty).
(b) g é nem par nem ímpar.
(c) g'(x)=x(3x+2) dá crescimento em (-\infty,-\tfrac{2}{3}) e (0,\infty), decrescimento em (-\tfrac{2}{3},0); máximo relativo em \bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{27}\bigr), mínimo relativo em (0,0).
(d) g''(x)=6x+2 mostra concavidade para baixo em (-\infty,-\tfrac{1}{3}) e para cima em (-\tfrac{1}{3},\infty), ponto de inflexão em \bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{27}\bigr).
(e) \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty, \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty. Não há assíntotas.
(f) Raízes em x=0 (dupla) e x=-1. Interseção com eixo y em (0,0).
(g) O gráfico é um cúbico com as características descritas acima.

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