Considere a função
.
(a) Determine o domínio de
.
(b) Verifique se
é par ou ímpar.
(c) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
, bem como os seus extremos relativos, caso existam. Justifique a classificação dos mesmos utilizando o Teste da Primeira Derivada ou Teste da Segunda Derivada.
(d) Estude a concavidade de
e seus pontos de inflexão, caso existam.
(e) Calcule os limites
e as assíntotas de
, caso existam.
(f) Determine as raízes e o ponto de interseção de
com o eixo
.
(g) Utilize as informações dos itens anteriores para esboçar o gráfico da função
.
(a) Determine o domínio de
(b) Verifique se
(c) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
(d) Estude a concavidade de
(e) Calcule os limites
(f) Determine as raízes e o ponto de interseção de
(g) Utilize as informações dos itens anteriores para esboçar o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
incluindo domínio, paridade, monotonicidade e extremos (via derivada), concavidade e pontos de inflexão, comportamento nas infinitudes e assíntotas, raízes e interseção com o eixo
, e finalmente o esboço do gráfico. Vamos usar ferramentas de cálculo diferencial (primeira e segunda derivada) e limites para resolver cada item.
Passo 2
Para determinar o domínio basta notar que
é um polinômio, logo seu domínio é todo o conjunto dos reais:
Para verificar paridade comparamos
e
:
Como
não coincide nem com
nem com
, concluímos que
é nem par nem ímpar.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada e analisamos sinais para monotonicidade e extremos:
As raízes de
são
e
. Num quadro de sinais:
- Para
: e (crescente). - Para
: e (decrescente). - Para
: e (crescente).
Logo há um ponto de máximo relativo em
e de mínimo relativo em
. Seus valores são
Podemos confirmar a natureza usando a segunda derivada no item seguinte.
Passo 4
A segunda derivada é
Resolvendo
obtemos
. Para
,
(concavidade para baixo); para
,
(concavidade para cima). Logo há ponto de inflexão em
e
Verificação dos extremos pelo teste da segunda derivada:
Passo 5
Estudamos os limites nas infinitudes:
Sendo
polinomial de grau 3, não existem assíntotas verticais nem horizontais. Não há assíntota oblíqua (neste contexto de polinômio não se considera assíntota).
Passo 6
As raízes de
satisfazem
logo
(de multiplicidade 2) e
. A interseção com o eixo
é
, ou seja, o ponto
também.
Passo 7
Com todas as informações:
- Cresce em
atinge máximo relativo , decresce em até o mínimo relativo , e cresce em . - Concavidade para baixo em
, para cima em com ponto de inflexão . - Interceptos: raízes em
e , interseção com em . - Comportamento nas infinitudes:
.
Esboça-se um cúbico passando pelos pontos citados, com mudança de concavidade em
, máximo em
e mínimo em
.
Resposta
(a)
(b) é nem par nem ímpar.
(c) dá crescimento em
e
, decrescimento em
; máximo relativo em
, mínimo relativo em
.
(d) mostra concavidade para baixo em
e para cima em
, ponto de inflexão em
.
(e) ,
. Não há assíntotas.
(f) Raízes em (dupla) e
. Interseção com eixo
em
.
(g) O gráfico é um cúbico com as características descritas acima.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Raízes em
(g) O gráfico é um cúbico com as características descritas acima.