Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x)=\frac{x}{x^{2}+2 x} e determine seus extremos locais, caos existam. Lembre-se de justificar a classificação dos extremos utilizando os resultados aprendidos.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
f(x) = \frac{x}{x^{2} + 2x}
e seus extremos locais, caso existam. O conteúdo a ser usado inclui determinação do domínio, derivação por regra do quociente (ou simplificação) e análise de sinais de f'(x).

Passo 2

Identificamos o domínio de f olhando para o denominador x^{2}+2x = x(x+2). Ele se anula em x=0 e x=-2. Portanto,
\dom(f) = \{x\in\mathbb R \mid x\neq -2,\;x\neq 0\},
que se divide nos intervalos (-\infty,-2), (-2,0) e (0,\infty).

Passo 3

Para facilitar a derivação, note que em cada ponto do domínio
f(x) = \frac{x}{x(x+2)} = \frac{1}{x+2}.
Essa simplificação é válida sempre que x\neq 0.

Passo 4

Derivando \tfrac{1}{x+2} obtemos
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl((x+2)^{-1}\bigr) = -1\cdot(x+2)^{-2} = -\frac{1}{(x+2)^2}.
Esse mesmo resultado surge aplicando a regra do quociente à forma original.

Passo 5

Como (x+2)^2>0 para todo x\neq -2, conclui-se que
f'(x) = -\frac{1}{(x+2)^2} < 0
em todos os pontos do domínio. Logo, f é estritamente decrescente em cada um dos intervalos (-\infty,-2), (-2,0) e (0,\infty).

Passo 6

Não há pontos em que f'(x)=0 no domínio, e também não ocorre mudança de sinal de f'(x). Portanto, não existem pontos de máximo ou mínimo locais para f.

Resposta

f é estritamente decrescente em (-\infty,-2), em (-2,0) e em (0,\infty), e não possui extremos locais.

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