Calcule os limites
\lim _{t \rightarrow 5^{+}} \frac{e^{t}}{(t-5)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral
\lim_{t\to5^{+}}\frac{e^{t}}{(t-5)^{3}}.
O conteúdo aqui é análise de limite em que o numerador é uma função contínua e o denominador tende a zero de um lado (positivamente).

Passo 2

Primeiro, note que o numerador e^{t} é contínuo em toda reta, logo
\lim_{t\to5^{+}}e^{t}=e^{5},
que é um número positivo e finito.

Passo 3

Agora, o denominador (t-5)^{3} ao aproximar t de 5 pela direita satisfaz t-5>0 e (t-5)\to0^{+}. Portanto
\lim_{t\to5^{+}}(t-5)^{3}=0^{+}.

Passo 4

Como temos um numerador que tende a uma constante positiva e^{5} e um denominador que tende a zero por valores positivos, o quociente cresce sem limite. Em outras palavras, dividir algo próximo de e^{5}>0 por um número que vai a 0^{+} faz a fração ir para +\infty.

Resposta

+\infty

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