Considere a função g(x)=ll-x^2+2, & x<1 3 x-2, & x >= 1.
A função g é diferenciável em x=1? Justifique usando o conceito de derivadas laterais e comente se há alguma contradição com o item (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
g(x) = -x^2 + 2, & se x < 1 3x - 2, & se x >= 1
A questão é saber se essa função é diferenciável em . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas laterais, que envolvem calcular a derivada pela esquerda e pela direita desse ponto. Precisamos verificar se essas derivadas são iguais para concluir que a função é diferenciável ali.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em limx to 1^- g(x) = limx to 1^- (-x^2 + 2) = -1^2 + 2 = 1 . Uma função só pode ser diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto.
Vamos calcular o limite de limx to 1^+ g(x) = limx to 1^+ (3x - 2) = 3(1) - 2 = 1 quando g(1) = 3(1) - 2 = 1 se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Agora, o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais ao valor de :
A função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas laterais em f'(x) = -2x .
Primeiro, a derivada pela esquerda ( f'-(1) = -2(1) = -2 ):
A função para f'(x) = 3 é f'+(1) = 3 . A derivada dessa parte é:
Então,
Segundo, a derivada pela direita ( ):
A função para é . A derivada dessa parte é:
Então,

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
f'-(1) = -2
f'+(1) = 3
Como elas são diferentes ( ), isso significa que a derivada da função não existe em . Ou seja, a função não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

Não, a função não é diferenciável em porque as derivadas laterais são diferentes ( pela esquerda e pela direita). Isso indica que há uma quebra na inclinação da função em , não havendo contradição com o item (a).

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