Considere a função
.
A função
é diferenciável em
? Justifique usando o conceito de derivadas laterais e comente se há alguma contradição com o item (a).
A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
A questão é saber se essa função é diferenciável em
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas laterais, que envolvem calcular a derivada pela esquerda e pela direita desse ponto. Precisamos verificar se essas derivadas são iguais para concluir que a função é diferenciável ali.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em
. Uma função só pode ser diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto.
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Agora, o limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais ao valor de
:
A função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas laterais em
.
Primeiro, a derivada pela esquerda (
):
A função para
é
. A derivada dessa parte é:
Então,
Segundo, a derivada pela direita (
):
A função para
é
. A derivada dessa parte é:
Então,
Passo 4
Comparando as duas derivadas:
Como elas são diferentes (
), isso significa que a derivada da função
não existe em
. Ou seja, a função não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
Não, a função
não é diferenciável em
porque as derivadas laterais são diferentes (
pela esquerda e
pela direita). Isso indica que há uma quebra na inclinação da função em
, não havendo contradição com o item (a).