Considere a função
.
Mostre algebricamente que
é uma função contínua em
.
Mostre algebricamente que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função
definida por
é contínua em
. Para isso, vamos utilizar o conceito de continuidade de uma função em um ponto. Precisamos verificar se o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita é igual ao valor da função em
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função
em
. Observando a definição da função, para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja,
. Para
, a função é
. Então:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita, ou seja,
. Para
, a função é
. Assim:
Passo 5
Finalmente, para a função ser contínua em
, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função em
. Verificamos que:
Como todos são iguais, concluímos que
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
porque os limites laterais e o valor da função em
são iguais a 1.