Considere a função g(x)=ll-x^2+2, & x<1 3 x-2, & x >= 1.
Mostre algebricamente que g é uma função contínua em x=1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função g(x) = -x^2 + 2, & se x < 1 3x - 2, & se x >= 1 definida por
é contínua em . Para isso, vamos utilizar o conceito de continuidade de uma função em um ponto. Precisamos verificar se o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita é igual ao valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função g(1) = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1 em . Observando a definição da função, para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limx to 1^- g(x) = limx to 1^- (-x^2 + 2) = - (1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1 quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, . Para , a função é . Então:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite de limx to 1^+ g(x) = limx to 1^+ (3x - 2) = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1 quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, . Para , a função é . Assim:

Passo 5

Finalmente, para a função ser contínua em limx to 1^- g(x) = 1, limx to 1^+ g(x) = 1, e g(1) = 1 , os limites laterais devem ser iguais ao valor da função em . Verificamos que:
Como todos são iguais, concluímos que é contínua em .

Resposta

A função é contínua em porque os limites laterais e o valor da função em são iguais a 1.

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