Encontre a solução para o seguinte PVI:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI:
Temos uma equação diferencial de primeira ordem linear com condição inicial
. Vamos usar o método do fator integrante para equações lineares.
Temos uma equação diferencial de primeira ordem linear
Passo 2
Dividimos toda a equação por
, que é positivo em
, para obter a forma padrão
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo vira derivada do produto e o direito se simplifica:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Passo 6
Usamos a condição inicial
,
e
. Então
logo
.
Passo 7
Substituindo
de volta e isolando
:
Multiplicando por
:
Resposta
y(x)=7\cos(x)-\sin(x)-\tfrac12\cos(x)\cos(2x)