Encontre a solução para o seguinte PVI:
cos (x) y^prime+sin (x) y=2 cos ^3(x) sin (x)-1, y(pi4)=3 raiz2, 0 <= x

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI:
Temos uma equação diferencial de primeira ordem linear cos(x)y'+sin(x)y=2cos^3(x)sin(x)-1 com condição inicial y(pi/4)=3raiz2. Vamos usar o método do fator integrante para equações lineares.

Passo 2

Dividimos toda a equação por cos(x), que é positivo em [0,pi/2), para obter a forma padrão y'+P(x)y=Q(x).
y'+tan(x),y=2cos^2(x)sin(x)-sec(x)

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integraltan(x),dx=e^-ln|cos(x)|=sec(x)

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=sec(x). O lado esquerdo vira derivada do produto e o direito se simplifica:
ddxl(sec(x)yr)=sec(x)l(2cos^2(x)sin(x)-sec(x)r)=2cos(x)sin(x)-sec^2(x)

Passo 5

Integramos ambos os lados:
sec(x)y=integrall(2cos(x)sin(x)-sec^2(x)r),dx =-tfrac12cos(2x)-tan(x)+C

Passo 6

Usamos a condição inicial x=pi/4, y(pi/4)=3raiz2 e sec(pi/4)=raiz2. Então
(3raiz2)(raiz2)=6=-tfrac12cos(pi/2)-1+C=-1+C
logo C=7.

Passo 7

Substituindo C de volta e isolando y:
sec(x)y=-tfrac12cos(2x)-tan(x)+7
Multiplicando por cos(x):
y(x)=7cos(x)-sin(x)-tfrac12cos(x)cos(2x)

Resposta

y(x)=7\cos(x)-\sin(x)-\tfrac12\cos(x)\cos(2x)

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