Considere a função g(x)=llx2+2, & x<-2 x^2-3, & x >=-2.
( 1,0 pt. ) Determine a função g^prime(x) usando a definição de derivada e esboce os gráficos de g e g^prime no mesmo sistema de eixos.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função definida por partes
g(x)=x2+2,&x< -2x^2-3,&x>= -2
Queremos encontrar a derivada g'(x) usando a definição de derivada e depois esboçar no mesmo sistema de eixos os gráficos de g e g'.

Passo 2

Derivada para x< -2: nesse intervalo g(x)=tfrac x2+2 é uma função linear. Pela regra básica de derivação de funções lineares, obtemos
g'(x)=ddxl( x2+2r)=12
Não precisamos usar o limite da definição porque já sabemos o resultado direto.

Passo 3

Derivada para x>-2: nesse intervalo g(x)=x^2-3 é um polinômio. Pela regra do poder, temos
g'(x)=ddx(x^2-3)=2x

Passo 4

Verificação em x=-2 pela definição: calculamos os limites laterais
LD=limhto0^-g(-2+h)-g(-2)h =limhto0^-l(tfrac-2+h2+2r)-1h=12, LE=limhto0^+g(-2+h)-g(-2)h =limhto0^+((-2+h)^2-3)-1h=-4
Como tfrac12neq-4, a derivada não existe em x=-2.

Passo 5

Esboço dos gráficos:
  • Gráfico de g: reta de inclinação 1/2 para x<-2 passando por (-2,1), que se conecta de forma contínua à parábola x^2-3 para x>=-2.
  • Gráfico de g': reta horizontal y=1/2 para x<-2 e reta y=2x para x>-2, com um salto de 1/2 a -4 em x=-2.

Resposta

g'(x)=tfrac12,&x< -22x,&x> -2, em x=-2 não existe derivada. Os gráficos de g e g' são, respectivamente, a reta de coeficiente angular 1/2 unida à parábola x^2-3, e a reta horizontal y=1/2 unida à reta y=2x com salto em x=-2.

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