Considere a função
.
(
. ) Determine a função
usando a definição de derivada e esboce os gráficos de
e
no mesmo sistema de eixos.
(
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função definida por partes
Queremos encontrar a derivada
usando a definição de derivada e depois esboçar no mesmo sistema de eixos os gráficos de
e
.
Passo 2
Derivada para
: nesse intervalo
é uma função linear. Pela regra básica de derivação de funções lineares, obtemos
Não precisamos usar o limite da definição porque já sabemos o resultado direto.
Passo 3
Derivada para
: nesse intervalo
é um polinômio. Pela regra do poder, temos
Passo 4
Verificação em
pela definição: calculamos os limites laterais
Como
, a derivada não existe em
.
Passo 5
Esboço dos gráficos:
- Gráfico de
: reta de inclinação para passando por , que se conecta de forma contínua à parábola para . - Gráfico de
: reta horizontal para e reta para , com um salto de a em .