Encontre
usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para
. O conteúdo principal é a regra da cadeia, e para isso também vamos precisar da regra do quociente para derivar
.
Passo 2
Definimos
de modo que
. Aplicando a regra da cadeia temos
.
Passo 3
Para encontrar
usamos a regra do quociente: se
então
, onde
e
.
Calculamos as derivadas de e
:
e
. Substituindo na fórmula do quociente:
Calculamos as derivadas de
Passo 4
Agora simplificamos o numerador expandindo e reunindo termos:
Logo
Logo
Passo 5
Voltando a
temos:
$$\frac{dy}{dx}=3\Bigl(\frac{\operatorname{sen}x}{\operatorname{sen}x+\cos x}\Bigr)^2\cdot\frac{1}{(\operatorname{sen}x+\cos x)^2}
=\frac{3,\operatorname{sen}^2 x}{(\operatorname{sen}x+\cos x)^4}.$$