Encontre d yd x usando a regra da cadeia.
(0,5 pt) y=(sen xsen x+cos x)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular dydx para y=l(senxsenx+cos xr)^3. O conteúdo principal é a regra da cadeia, e para isso também vamos precisar da regra do quociente para derivar u=senxsenx+cos x.

Passo 2

Definimos u=senxsenx+cos x de modo que y=u^3. Aplicando a regra da cadeia temos dydx=3u^2dudx.

Passo 3

Para encontrar dudx usamos a regra do quociente: se u=fg então dudx=f'g - fg'g^2, onde f=senx e g=senx+cos x.
Calculamos as derivadas de f e g: f'=cos x e g'=cos x-senx. Substituindo na fórmula do quociente:
dudx=cos x(senx+cos x)-senx(cos x-senx)(senx+cos x)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador expandindo e reunindo termos:
dudx=1(senx+cos x)^2
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Passo 5

Voltando a dydx=3u^2dudx temos:
$$\frac{dy}{dx}=3\Bigl(\frac{\operatorname{sen}x}{\operatorname{sen}x+\cos x}\Bigr)^2\cdot\frac{1}{(\operatorname{sen}x+\cos x)^2}
=\frac{3,\operatorname{sen}^2 x}{(\operatorname{sen}x+\cos x)^4}.$$

Resposta

dydx=3,sen^2 x(senx+cos x)^4

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