Encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
r^2=9 sen 2 theta

Passo 1

Temos uma curva em coordenadas polares dada por r^2=9sin2theta. O conteúdo é comprimento de curva em polares, e vamos precisar da fórmula L=integralalpha^betaraizr^2+l(tfracdrdthetar)^2,dtheta, além de identificar onde r é real.

Passo 2

Isolamos r:
r(theta)=3raizsin2theta
Para r real precisamos sin2theta>=0, logo thetain[0,pi/2]cup[pi,3pi/2]. A curva tem dois laços idênticos; vamos calcular um laço em [0,pi/2] e depois dobrar.

Passo 3

Derivando r:
drdtheta=3cdot12(sin2theta)^-1/2cdot2cos2theta=3cos2thetaraizsin2theta

Passo 4

Montamos o integrando:
raizr^2+l(drdthetar)^2 =raiz9sin2theta+9cos^22thetasin2theta =3raizsin^22theta+cos^22thetasin2theta =3raizsin2theta

Passo 5

O comprimento de um laço é integral0^pi/23raizsin2theta,dtheta. Como há dois laços iguais, o comprimento total é o dobro:

Resposta

L=6integral0^pi/2dthetaraizsin2theta

Exercícios relacionados