Encontre, se existirem, os pontos de inflexão do gráfico da função dada. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.
(e) g(x)=xx^2+4

Passo 1

Resumo da questão: a função é g(x)=xx^2+4. O que precisamos aqui é encontrar os pontos de inflexão, isto é, onde a concavidade muda, determinar em que intervalos o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, esboçar o gráfico e desenhar a reta tangente nos pontos de inflexão. Para isso vamos usar derivadas até a segunda ordem e estudar o sinal de g''(x).

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira g'(x) usando a regra do quociente. Seja u(x)=x e v(x)=x^2+4. Então u'(x)=1 e v'(x)=2x. Temos:
g'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 = 1cdot(x^2+4)-xcdot2x(x^2+4)^2 = x^2+4-2x^2(x^2+4)^2 = 4-x^2(x^2+4)^2

Passo 3

Agora vamos obter a segunda derivada g''(x). Aplicando novamente a regra do quociente a g'(x)=4-x^2(x^2+4)^2, definimos h(x)=4-x^2 e k(x)=(x^2+4)^2. Então h'(x)=-2x e k'(x)=2(x^2+4)cdot2x=4x(x^2+4). Logo:
g''(x)=h'(x)k(x)-h(x)k'(x)[k(x)]^2 = -2x(x^2+4)^2 - (4-x^2)4x(x^2+4)(x^2+4)^4
Fatorando, encontramos
g''(x)=2x(x^2-12)(x^2+4)^3

Passo 4

Para achar os candidatos a ponto de inflexão, igualamos g''(x)=0 e verificamos onde ela não existe. Como o denominador nunca zera, só resolvemos:
2x(x^2-12)=0 implies x=0, x^2=12 implies x=pm2raiz3
Em seguida, testamos o sinal de g''(x) em cada intervalo:
  • Para x<-2raiz3: x<0 e x^2-12>0 g''<0 (côncavo para baixo).
  • Para -2raiz3: x<0 e x^2-12<0 g''>0 (côncavo para cima).
  • Para 0: x>0 e x^2-12<0 g''<0 (côncavo para baixo).
  • Para x>2raiz3: x>0 e x^2-12>0 g''>0 (côncavo para cima).

Passo 5

Concluímos que em x=-2raiz3,0,2raiz3 há mudança de sinal em g'', logo são pontos de inflexão. As concavidades ficam:
  • Côncavo para baixo em (-infty,-2raiz3) e (0,2raiz3).
  • Côncavo para cima em (-2raiz3,0) e (2raiz3,+infty).

Passo 6

Vamos agora achar as coordenadas dos pontos de inflexão e as retas tangentes. Primeiro as imagens:
g(-2raiz3)=-2raiz312+4=-2raiz316=-raiz38,
g(0)=0,
g(2raiz3)=2raiz316=raiz38
As retas tangentes têm coeficiente angular g'(x)=(4-x^2)/(x^2+4)^2. Em x=0, g'(0)=1/4, logo
y=tfrac14 x
Em x=2raiz3, g'(2raiz3)=-1/32 e ponto (2raiz3,tfracraiz38), então
y-tfracraiz38=-tfrac132(x-2raiz3)
Em x=-2raiz3, g'(-2raiz3)=-1/32 e ponto (-2raiz3,-tfracraiz38), então
y+tfracraiz38=-tfrac132(x+2raiz3)

Passo 7

Esboço do gráfico: a função é ímpar (simétrica em relação à origem), tem assíntota horizontal y=0 para xtopminfty, passa pela origem e muda de concavidade em x=pm2raiz3 e em 0. Entre os pontos de inflexão apresenta “bolha” côncava para cima, e depois desce novamente côncava para baixo até o segundo inflexão, retomando côncava para cima. O esboço mostra também os segmentos de reta tangente localizados junto aos pontos de inflexão.
(No esboço, marque os três pontos de inflexão e rascunhe a forma geral da curva e as retas tangentes calculadas.)

Resposta

Pontos de inflexão em:
(-2raiz3,-tfracraiz38),,(0,0),,(2raiz3,tfracraiz38).
Concavidade:
  • Côncavo para baixo em e ( -u000Cinfty,-2raiz3).
  • Côncavo para cima em (0,2raiz3) e .
Retas tangentes nos pontos de inflexão:
(-2raiz3,0)
(2raiz3,+u000Cinfty)
y=tfrac14x,

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