Encontre, se existirem, os pontos de inflexão do gráfico da função dada. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.
(e)
(e)
Passo 1
Resumo da questão: a função é
. O que precisamos aqui é encontrar os pontos de inflexão, isto é, onde a concavidade muda, determinar em que intervalos o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, esboçar o gráfico e desenhar a reta tangente nos pontos de inflexão. Para isso vamos usar derivadas até a segunda ordem e estudar o sinal de
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira
usando a regra do quociente. Seja
e
. Então
e
. Temos:
Passo 3
Agora vamos obter a segunda derivada
. Aplicando novamente a regra do quociente a
, definimos
e
. Então
e
. Logo:
Fatorando, encontramos
Passo 4
Para achar os candidatos a ponto de inflexão, igualamos
e verificamos onde ela não existe. Como o denominador nunca zera, só resolvemos:
Em seguida, testamos o sinal de
em cada intervalo:
- Para
: e ⇒ (côncavo para baixo). - Para
: e ⇒ (côncavo para cima). - Para
: e ⇒ (côncavo para baixo). - Para
: e ⇒ (côncavo para cima).
Passo 5
Concluímos que em
há mudança de sinal em
, logo são pontos de inflexão. As concavidades ficam:
- Côncavo para baixo em
e . - Côncavo para cima em
e .
Passo 6
Vamos agora achar as coordenadas dos pontos de inflexão e as retas tangentes. Primeiro as imagens:
As retas tangentes têm coeficiente angular
. Em
,
, logo
Em
,
e ponto
, então
Em
,
e ponto
, então
Passo 7
Esboço do gráfico: a função é ímpar (simétrica em relação à origem), tem assíntota horizontal
para
, passa pela origem e muda de concavidade em
e em 0. Entre os pontos de inflexão apresenta “bolha” côncava para cima, e depois desce novamente côncava para baixo até o segundo inflexão, retomando côncava para cima. O esboço mostra também os segmentos de reta tangente localizados junto aos pontos de inflexão.
(No esboço, marque os três pontos de inflexão e rascunhe a forma geral da curva e as retas tangentes calculadas.)
(No esboço, marque os três pontos de inflexão e rascunhe a forma geral da curva e as retas tangentes calculadas.)
Resposta
Pontos de inflexão em:
.
Concavidade:
- Côncavo para baixo em e
. - Côncavo para cima em
e .
Retas tangentes nos pontos de inflexão: