Esboçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares.
r=2-cos theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar em coordenadas polares a curva dada por r=2-costheta. O conteúdo envolve curvas planas em coordenadas polares: vamos precisar reconhecer o tipo da curva, estudar sua simetria e analisar pontos-chave para depois desenhar.

Passo 2

A equação r=2-costheta é do tipo limacon (forma geral r=a+bcostheta). Aqui a=2 e b=-1, de modo que |b/a|=1/2<1. Isso indica um limacon sem laço (dimpled), levemente entalhado, e simétrico em relação ao eixo polar (eixo x).

Passo 3

Para entender a forma, vamos calcular r em ângulos importantes e localizar interceptos:
  • Para theta=0:
    r=2-cos0=2-1=1
    Interseção com o eixo polar positivo em r=1.
  • Para theta=pi:
    r=2-cospi=2-(-1)=3
    Interseção no eixo polar negativo em r=3.
  • Para theta=tfracpi2 e theta=tfrac3pi2:
    r=2-cosl(tfracpi2r)=2-0=2, r=2-cosl(tfrac3pi2r)=2-0=2
    Pontos à mesma distância r=2 nos eixos y positivo e negativo.

Passo 4

Com os valores de r e sabendo a simetria, trace um esboço unindo suavemente esses pontos: o limacon tem um “entalhe” no lado direito (próximo a theta=0, onde r atinge o mínimo), expande até r=3 no lado esquerdo e passa pelos pontos (r,theta)=(2,tfracpi2) e (2,tfrac3pi2). Ligue tudo formando uma curva fechada sem laço.

Passo 5

O esboço final é uma curva fechada (limacon sem laço), simétrica em torno do eixo x, com mínimo em r=1 para theta=0 e máximo em r=3 para theta=pi, apresentando um leve entalhe no lado direito.

Resposta

Limacon sem laço dado por r=2-costheta, simétrico ao eixo polar, com rmin=1 em theta=0, rmax=3 em theta=pi e entalhe à direita.

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