Determine se existe um valor de a para que f(x) tenha limite em x=2. Se sim, encontre os valores para a; se não, justifique.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes e pede para existirem valor(es) de a tais que limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x). O conteúdo é cálculo de limites laterais em ponto de junção de função por partes.
Passo 2
Para x>2, temos
x^2-4x-2=(x-2)(x+2)x-2=x+2
Logo
limxto2^+f(x)=limxto2^+(x+2)=4
Passo 3
Para x<2, temos
f(x)=raizax^3+10x
Como a raiz é contínua e o radicando deve ser não negativo, substituímos diretamente:
limxto2^-f(x)=raizacdot2^3+10cdot2=raiz8a+20
Passo 4
Para existir o limite dois-lados, igualamos as duas expressões e exigimos radicando não negativo:
raiz8a+20=4 e8a+20>=0
Passo 5
Elevando ao quadrado e resolvendo:
8a+20=16 implies8a=-4 implies a=-tfrac12
Verificando a condição: 8(-tfrac12)+20=16>=0, ok. Portanto há limite único.
Passo 6
O valor a=-tfrac12 faz com que x=2
logo o limite em existe e vale 4.