Considere a função
f(x)= raiza x^3+10 x, & se x<2 a^2-3 a, & se x=2 x^2-4x-2, & se x>2
Determine se existe um valor de a para que f(x) tenha limite em x=2. Se sim, encontre os valores para a; se não, justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes e pede para existirem valor(es) de a tais que limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x). O conteúdo é cálculo de limites laterais em ponto de junção de função por partes.

Passo 2

Para x>2, temos
x^2-4x-2=(x-2)(x+2)x-2=x+2
Logo
limxto2^+f(x)=limxto2^+(x+2)=4

Passo 3

Para x<2, temos
f(x)=raizax^3+10x
Como a raiz é contínua e o radicando deve ser não negativo, substituímos diretamente:
limxto2^-f(x)=raizacdot2^3+10cdot2=raiz8a+20

Passo 4

Para existir o limite dois-lados, igualamos as duas expressões e exigimos radicando não negativo:
raiz8a+20=4 e8a+20>=0

Passo 5

Elevando ao quadrado e resolvendo:
8a+20=16 implies8a=-4 implies a=-tfrac12
Verificando a condição: 8(-tfrac12)+20=16>=0, ok. Portanto há limite único.

Passo 6

O valor a=-tfrac12 faz com que
x=2
logo o limite em existe e vale 4.

Resposta

a=-tfrac12

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