Determine se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem.
[\mathbf{2}, \mathbf{0}] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{1+(n)!};

Passo 1

O enunciado dá a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{1+(n)!}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informação relevante: cada termo geral é positivo, isto é, para todo n\ge1 temos \frac{n^{2}}{1+n!}>0. O objetivo é decidir convergência (ou divergência) da soma dos termos.

Passo 2

Vamos comparar os termos com uma sequência mais simples cuja convergência já conhecemos. Uma desigualdade útil envolvendo fatoriais é a seguinte: para todo n\ge1,
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n \ge 2^{\,n-1}.
Explicação dessa desigualdade: entre os fatores 1,2,\dots,n há exatamente n-1 fatores a partir do 2. Cada um desses n-1 fatores é maior ou igual a 2, portanto o produto é pelo menos 2^{\,n-1}. Verifique com exemplos pequenos: 4! =24\ge 2^{3}=8, 5!=120\ge 2^{4}=16, etc.

Passo 3

Usando \,n! \ge 2^{\,n-1}\, obtemos uma desigualdade para os termos da série. Primeiro notamos que 1+n!\ge n!, logo
\frac{n^{2}}{1+n!} \le \frac{n^{2}}{n!}.
Agora, aplicando n! \ge 2^{\,n-1},
\frac{n^{2}}{n!} \le \frac{n^{2}}{2^{\,n-1}} = 2\cdot\frac{n^{2}}{2^{n}}.
Portanto, para todo n\ge1,
0 \le \frac{n^{2}}{1+n!} \le 2\cdot\frac{n^{2}}{2^{n}}.

Passo 4

Mostramos agora que a série comparadora \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} é convergente. Para isso podemos usar o critério da razão (ratio test). Seja a_n=\frac{n^{2}}{2^{n}}. Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{2}/2^{\,n+1}}{n^{2}/2^{n}} = \frac{(n+1)^{2}}{2\,n^{2}}.
Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} < 1.
Pelo critério da razão, a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} converge. Como é conhecida também que multiplicar uma série convergente por uma constante mantém a convergência, \sum 2\cdot\frac{n^{2}}{2^{n}} também converge.

Passo 5

Aplicando o teste da comparação: temos para todo n que \frac{n^{2}}{1+n!}\le 2\cdot\frac{n^{2}}{2^{n}} e já vimos que \sum 2\cdot\frac{n^{2}}{2^{n}} é convergente. Como os termos da série original são não-negativos, a comparação implica que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{1+n!}
converge.

Resposta

A série converge.

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