Determine se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem.
;
Passo 1
O enunciado dá a série numérica
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informação relevante: cada termo geral é positivo, isto é, para todo
temos
. O objetivo é decidir convergência (ou divergência) da soma dos termos.
Passo 2
Vamos comparar os termos com uma sequência mais simples cuja convergência já conhecemos. Uma desigualdade útil envolvendo fatoriais é a seguinte: para todo
,
Explicação dessa desigualdade: entre os fatores
há exatamente
fatores a partir do
. Cada um desses
fatores é maior ou igual a
, portanto o produto é pelo menos
. Verifique com exemplos pequenos:
,
, etc.
Passo 3
Usando
obtemos uma desigualdade para os termos da série. Primeiro notamos que
, logo
Agora, aplicando
,
Portanto, para todo
,
Passo 4
Mostramos agora que a série comparadora
é convergente. Para isso podemos usar o critério da razão (ratio test). Seja
. Calculamos
Tomando limite quando
,
Pelo critério da razão, a série
converge. Como é conhecida também que multiplicar uma série convergente por uma constante mantém a convergência,
também converge.
Passo 5
Aplicando o teste da comparação: temos para todo
que
e já vimos que
é convergente. Como os termos da série original são não-negativos, a comparação implica que
converge.
Resposta
A série converge.