Considere a função
.
(a) Qual é o domínio de
?
(b) Obtenha as assíntotas verticais dessa função, caso existam.
© Obtenha as assíntotas horizontais dessa função, caso existam.
(d) Faça um esboço de um possível gráfico dessa função ilustrando as assíntotas que você encontrou.
(a) Qual é o domínio de
(b) Obtenha as assíntotas verticais dessa função, caso existam.
© Obtenha as assíntotas horizontais dessa função, caso existam.
(d) Faça um esboço de um possível gráfico dessa função ilustrando as assíntotas que você encontrou.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função racional
, encontrando domínio, assíntotas verticais, horizontais e depois desenhando um esboço. O conteúdo é análise de funções racionais usando limites e comparação de graus de polinômios.
Passo 2
Para achar o domínio, identificamos que o denominador não pode ser zero. Resolvendo
dá
e portanto
. Logo o domínio é todos os reais, exceto 2.
Passo 3
As assíntotas verticais surgem onde o denominador zera sem cancelamento com o numerador. Em
temos denominar zero mas numerador
. Assim há assíntota vertical em
.
Passo 4
Para as assíntotas horizontais comparamos graus: o numerador é de grau 2 e o denominador de grau 3. Como o grau do denominador é maior, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
No esboço, usamos limites: ao aproximar-se de 2 pela esquerda,
, o denominador é pequeno e negativo, numerador positivo, então
; para
dá
. Para
ou
,
. Assim desenhamos duas curvas: uma à esquerda de
abaixo do eixo e descendo a
em $x=2^-
Passo 6
outra à direita acima do eixo subindo a (+\infty$ em
, ambas se aproximando de
nas pontas.
Resposta
(a) Domínio:
(b) Assíntota vertical:
© Assíntota horizontal:
(d) Esboço: curva em abaixo do eixo, tende a 0 em
e a
em
; curva em
acima do eixo, tende a
em
e a 0 em
.
(b) Assíntota vertical:
© Assíntota horizontal:
(d) Esboço: curva em