Considere a função g(x)=2 x^2-3 x+1x^3-8.
(a) Qual é o domínio de g(x) ?
(b) Obtenha as assíntotas verticais dessa função, caso existam.
© Obtenha as assíntotas horizontais dessa função, caso existam.
(d) Faça um esboço de um possível gráfico dessa função ilustrando as assíntotas que você encontrou.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função racional g(x)=2x^2-3x+1x^3-8, encontrando domínio, assíntotas verticais, horizontais e depois desenhando um esboço. O conteúdo é análise de funções racionais usando limites e comparação de graus de polinômios.

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos que o denominador não pode ser zero. Resolvendo x^3-8neq 0 x^3neq8 e portanto xneq2. Logo o domínio é todos os reais, exceto 2.

Passo 3

As assíntotas verticais surgem onde o denominador zera sem cancelamento com o numerador. Em x=2 temos denominar zero mas numerador 2cdot2^2-3cdot2+1=8-6+1=3neq0. Assim há assíntota vertical em x=2.

Passo 4

Para as assíntotas horizontais comparamos graus: o numerador é de grau 2 e o denominador de grau 3. Como o grau do denominador é maior, a assíntota horizontal é y=0.

Passo 5

No esboço, usamos limites: ao aproximar-se de 2 pela esquerda, xto2^-, o denominador é pequeno e negativo, numerador positivo, então g(x)to-infty; para xto2^+ +infty. Para xto+infty ou -infty, g(x)to0. Assim desenhamos duas curvas: uma à esquerda de x=2 abaixo do eixo e descendo a -infty em $x=2^-

Passo 6

outra à direita acima do eixo subindo a (+\infty$ em em , ambas se aproximando de , ambas se aproximando de nas pontas.

Resposta

(a) Domínio: x=2
(b) Assíntota vertical: y=0
© Assíntota horizontal: x<2
(d) Esboço: curva em -infty abaixo do eixo, tende a 0 em -infty e a xto2^- em x>2; curva em +infty acima do eixo, tende a xto2^+ em +infty e a 0 em .

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