(Valor 1 ponto) Mostre que y1(x)=ctg(x) é uma solução para a equação
sen^2(x) y^prime prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que y1(x)=cot(x) satisfaz a equação diferencial sin^2(x)y''-2y=0. O conteúdo é verificação de solução de EDO, e vamos precisar calcular y' e y'' de y1(x).

Passo 2

Começamos derivando y1(x)=cot(x). Usando a regra de derivação de cot(x) e de potências de sin(x) temos:
y' = ddxl(cot(x)r) = -csc^2(x) = -1sin^2(x),
y'' = ddxl(-sin^-2(x)r) = -(-2)sin^-3(x)cos(x) = 2cos(x)sin^3(x)

Passo 3

Agora substituímos em sin^2(x)y''-2y:
sin^2(x)y'' = sin^2(x) cdot 2cos(x)sin^3(x) = 2cos(x)sin(x) = 2cot(x)

Passo 4

Como y=cot(x), temos
sin^2(x)y''-2y = 2cot(x) - 2cot(x) = 0

Passo 5

Portanto a expressão se anula, o que prova que y1(x)=cot(x) é de fato uma solução da equação diferencial dada.

Resposta

y1(x)=cot(x) satisfaz a equação diferencial sin^2(x)y''-2y=0.

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