Considere a função
.
Explique, sem usar a definição de diferenciabilidade, o motivo porque
é diferenciável no ponto
;
Explique, sem usar a definição de diferenciabilidade, o motivo porque
Passo 1
O exercício pede pra mostrar que a função
é diferenciável no ponto
. O conteúdo principal é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e vamos precisar usar que polinômios e exponenciais são diferenciáveis e que as regras de soma, produto e quociente preservam a diferenciabilidade.
Passo 2
As funções
,
e
são diferenciáveis em todo
(polinômios e exponenciais são
). Como
nunca se anula, podemos aplicar a regra do produto e do quociente para concluir que
é diferenciável em todo o domínio, inclusive em
.
Para reforçar, vamos calcular as derivadas parciais e ver que elas são contínuas. Calculando a derivada parcial em relação a :
Para reforçar, vamos calcular as derivadas parciais e ver que elas são contínuas. Calculando a derivada parcial em relação a
Passo 3
Em relação a
:
Passo 4
Como essas duas funções são contínuas em
, temos
no vizinho de
e, portanto, diferenciável em
.
Resposta
A função g é diferenciável em P porque é obtida por soma, produto e quociente de funções elementares (polinômios e exponenciais) diferenciáveis, o que garante
em todo o domínio, e suas derivadas parciais existem e são contínuas em
.