Considere a função g(x, y)=x y^2e^x.
Explique, sem usar a definição de diferenciabilidade, o motivo porque g é diferenciável no ponto P=(1,1);

Passo 1

O exercício pede pra mostrar que a função g(x,y)=x y^2e^x é diferenciável no ponto P=(1,1). O conteúdo principal é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e vamos precisar usar que polinômios e exponenciais são diferenciáveis e que as regras de soma, produto e quociente preservam a diferenciabilidade.

Passo 2

As funções x, y^2 e e^x são diferenciáveis em todo R^2 (polinômios e exponenciais são C^infty). Como e^x nunca se anula, podemos aplicar a regra do produto e do quociente para concluir que g é diferenciável em todo o domínio, inclusive em P=(1,1).
Para reforçar, vamos calcular as derivadas parciais e ver que elas são contínuas. Calculando a derivada parcial em relação a x:
partial gpartial x(x,y)=partialpartial xl(x y^2 e^-xr)=y^2e^-x-xy^2e^-x=y^2e^-x(1-x)

Passo 3

Em relação a y:
partial gpartial y(x,y)=partialpartial yl(x y^2 e^-xr)=2xye^-x

Passo 4

Como essas duas funções são contínuas em R^2, temos gin C^1 no vizinho de P e, portanto, diferenciável em P=(1,1).

Resposta

A função g é diferenciável em P porque é obtida por soma, produto e quociente de funções elementares (polinômios e exponenciais) diferenciáveis, o que garante gin C^1 em todo o domínio, e suas derivadas parciais existem e são contínuas em P.

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