Determine uma equação vetorial e equações paramétricas para a reta.
A reta que passa pelo ponto (5,7,1) e é perpendicular ao plano 3 x-2 y+2 z=8. Dica: Note que se a equação do plano é a x+b y+c z=d, então o vetor n=(a, b, c) é normal ao plano.

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (5,7,1) e é perpendicular ao plano 3x-2y+2z=8. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: precisamos usar o vetor normal ao plano como direção da reta e então montar sua equação vetorial e, a partir dela, as equações paramétricas.

Passo 2

Para encontrar a direção da reta, lembramos que se um plano tem equação ax+by+cz=d, então o vetor n=(a,b,c) é normal ao plano. Como a reta deve ser perpendicular ao plano, sua direção é justamente esse vetor normal.

Passo 3

No nosso caso o plano é 3x-2y+2z=8, logo seu vetor normal é
n=(3,,-2,,2)Como a reta é perpendicular ao plano, podemos usar v=(3,-2,2) como vetor diretor da reta.

Passo 4

Montamos então a equação vetorial da reta usando o ponto P0=(5,7,1) e o vetor diretor v. Em forma vetorial:
$$\vec r= vec r=571+t3-22, tinR +t x=5+3t, y=7-2t, z=1+2t ,\quad t\in\mathbb{R}.
$$Para obter as equações paramétricas, basta escrever componente a componente:

Resposta

Equação vetorial: vec r=(5,7,1)+t(3,-2,2). Equações paramétricas: x=5+3t,;y=7-2t,;z=1+2t, com tinR.

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